中國近三百年學術史十六清代學者整理舊學之總成績（四）(3)

十六清代學者整理舊學之總成績（四）(3)

　　清季承學之士，喜言西學為中國所固有，其言多牽強附會，徒長籠統囂張之習，識者病焉。然近世矯其弊者，又曾不許人稍言會通，必欲擠祖國於未開之蠻民，謂其一無學問，然後為快。嘻！抑亦甚矣。人智不甚相遠，苟積學焉，理無不可相及，頑固老輩之蔑視外國，與輕薄少年之蔑視本國，其誤謬正相等。質而言之，蔽在不學而已。他勿具論，即如算術中之天元、四元，苟稍涉斯學之樊者，甯能強詞斥之謂為無學問上之價值？又寧能謂此學非我所自有？清聖祖述西士之言，謂借根為「東來法」。英人偉烈亞力，與李壬叔同事譯業者也，深通中國語言文字，能讀古書，其所著《數學啟蒙》第二卷有「開諸乘方捷法」一條，綴以按語云：「無論若干乘方，且無論帶縱不帶縱，俱以一法通之，故曰捷法。此法在中土為古法，在西土為新法，上下數千年，東西數萬里，所造之法若合符節。信乎！此心此理同也。」夫偉力是否讕言，但用天元一試布算焉，立可決矣。竺舊之儒，必謂西法剽竊自我，如梨洲所謂「汶陽之田可複歸」，誠為誇而無當。然心同理同之說，雖好自貶者亦豈能否認耶？是故如魏文魁、楊光先之流，未嘗學問，徒爭意氣，吾輩固當引為大戒。乃若四香、茗香、壬叔諸賢，真所謂「舊學商量加邃密，新如涵養轉深沈」，蓋於舊學所入愈深，乃益以促其自覺之心，增其自壯之氣，而完其獨立發明之業，則溫故不足以妨知新，抑甚明矣！而最損人神智者，實則在「隨人腳跟，學人言語」，不務力學，專逐時談之習耳。世之君子，宜何擇焉？

　　清代算學，順康間僅消化西法，乾隆初僅雜釋經典。其確能獨立有所發明者，實自乾隆中葉後，而嘉、道、鹹、同為盛。推厥所由，則皆天元、四元兩術之復活有以牖之。徐文定所謂「會通以求超勝」，蓋實現于百餘年後矣。今刺舉其發明之可紀者如下：

　　一、明靜庵安圖之割圜密率捷法。梅玉汝《赤水遺珍》，載有西士杜德美用連比例演周徑密率及求正弦、正矢之法，唯所以立法之原則秘而不宣。至汪孝嬰疑其數為偶合。靜庵積思三十年，創為此法與解，用連比例術，以半徑為一率，設弧共分為二率：二率自乘，一率除之，得三率；以二率與三率相乘，一率除之，得四率。由是推之，三率自乘，一率除之，得五率。……雖至億萬率，胥如是。羅茗香評之曰：「西法之妙，莫捷於對數；對數之用，莫便於八線。……考對數之由來，亦起于連比例，又安知當日立八線表時，不暗用此法推算耶？」

　　二、孔巽軒之三乘方以上開方捷法及割圜四例。巽軒為戴東原高弟子，研究秦李之書，精通天元。梅定九著《少廣拾遺》，雲三乘方以上不能為圖。巽軒獨抒新意，取冪積變為方根，使諸乘皆可作平方觀，制《諸乘方廉隅圖》，俾學者知方廣稠疊所由生。又立割圜四例，其說在明氏捷法未顯之先，而間與暗合，所著書名《少廣正負術內外篇》六卷。

　　三、李四香之《方程新術草》。因梅氏未見古《九章》，其所著《方程論》，囿于西學，致悖直除之旨，乃尋究古義，采索本根，變通簡捷，以成新術。辨天元與借根之異同，梅玉汝言借根即天元，大致固不謬。四香更辨析天元之相消，有減無加，與借根方之兩邊加減微異。發明開方正負定律。梅氏言開方，專宗《同文算指》《西鏡錄》之西法，初不知立方以上無不帶縱之方。故所著《少廣拾遺》，立開一乘方以至開十二乘方法，枝枝節節，窒礙難通。四香讀秦道古書，闡明超步退商、正負加減、借一為陽諸法，為《開方說》三卷。

　　四、黎見山應南之求勾股率捷法。見山，四香弟子。此捷法乃推闡天元通分而成。任設奇偶兩數，各自乘，相並為弦，相減為勾，或為股；副以兩數相乘，倍之為股，或為勾。若任設大小兩奇數或偶數，各自乘，則相並半之為勾，或為股，其兩數相乘即為股，或為勾，所得勾股弦皆無零數。

　　五、汪孝嬰之發明天元一正負開方之可知不可知。四香發明正負開方定律，少廣之學大明。孝嬰讀秦李書，知有不可知之數，乃自二乘方以下推之得九十五條。其說與四香似立異，故當時有汪李齮齕之謠，焦裡堂既辨之矣。四香後讀其書而為之跋，括為三例以證明之，謂：偶實同名者不可知；偶實異名而從廉正負不雜者可知；偶實異名而從廉正負相雜，其從翻而與隅同名者可知，否則不可知。又謂己所言「一答與不止一答」，與汪言之「可知不可知」，義實相通雲。

　　六、董方立之發明割圜連比例術。此亦因杜德美之圓徑求周術語焉不詳，欲更創通法，使弦矢與弧可以徑求。時明靜庵之密率捷法未傳於世。方立覃思獨創，與明氏同歸而殊塗，蓋以圜容十八觚之術，引申類長，求其累積，實兼差分之列衰、商功之堆垛，而會通以盡勾股之變。自謂奇偶相生，出於自然，得此術而方圓之率通雲。

　　七、徐君青之發明屢乘屢除的對數，對數表傳自西人，雲以屢次開方而得其數。君青以屢除屢乘法禦之，得數巧合而省力百倍。研究測圜密率，以屢乘屢除法，遞求正負諸差，而加減相並，便得所求。發明開圜求周術，橢圓求周，無法可馭。借平圜周求之，則有三術。項梅侶、戴鄂士各立一術。君青以橢周為圜周，求其經以求周，即為橢圜之周。最直捷。李壬叔謂其駕過西人遠甚。發明造各表簡法。君青以對數表等為用最大。惜創造之初，取徑紆回，布算繁賾，不示人以簡易之方，如八線對數表，至今無人知其立表之根，因讀《四元玉鑒》，究心於垛積招差之法，推諸割圓諸術，無所不通。蓋垛積者遞加數也，招差者連比例也。合二術以施之割圜，六通四辟，而簡易之法生焉。乃集杜德美、董方立、項梅侶、戴鄂士、李壬叔諸家之說而折衷之，簡益求簡，凡立五術。

　　八、戴鄂士之發明對數簡法，其術在舍開方而求假設數；複有續編，專明對數根之理。徐君青為之序，謂與李壬叔《對數探原》同為不朽之業。發明外切密率，此亦割圜率中之一種。自杜、董遞啟割圜之秘，項梅侶、李壬叔皆有所增益。惜杜氏有弦矢術而無切割術，李氏有其術而分母分子之源未經解釋。鄂士謂弦矢與切割本可互為比例，……以比例所得之率數乘除法，乘除弧背，其求得之數，必仍為比例所得之切割。乃本此意以立術。發明假數測圓。專以負算闡對數，發前人未發之蘊。

　　九、鄒特夫之發明乘方捷術。此亦研究對數之書，隱括董方立、戴鄂士之說，立開方四術。其于訥白爾表，以連比例乘除法，徑開一無量數乘方以求之，又立求對數較四術以求之，亦用連比例一以貫之，立術最為簡易。蓋以徐君青、李壬叔之術，操數各殊，唯夏紫笙略近而更為精密雲。創造對數尺。因對數表而變通之為算器，畫數以兩尺，相並而伸縮之，使原有兩數相對，而今有數即對所求數。補古格術。格術之名及其術之概略，僅見于宋沈括《夢溪筆談》，後人讀之亦莫能解。特夫知其即光學之理，更為布算以明之。以算學釋物理自特夫始。

　　十、李壬叔之以尖錐馭對數。壬叔以尖錐立術，既著《方圓闡幽》《弧矢啟秘》二書，複為《對數探源》，亦以尖錐截積起算，先明其理，次詳其法。自序云：「……有正數萬，求其逐一相對之對數，則雖歐羅巴造表之人僅能得其數，未能知其理也。間嘗深思得之，歎其精微玄妙，且用以造表，較西人簡易萬倍，然後知言數者不可不先得夫理也。」壬叔著書在早年，其後與西士共譯各書，益自信，乃著《對數尖錐變法釋》，謂己所用為正法，西人所用乃變法，而其根則同雲。推衍垛積術。謂垛積為少廣一支，西人代數微分中所有級數，大半皆是。近人唯汪孝嬰、董方立頗知其理，而法數未備，因特闡明之。

　　十一、顧尚之之和較相求對數八術。批評杜、董、項、戴及西人《數學啟蒙》中之諸新術，以為皆未盡其理，乃別為變通，任意設數，立六術以禦之，得數皆合，複立還原四術，卒乃推衍之為和較相求之八術。

　　十二、夏紫笙之創曲線新術。其書名《致曲術》，曰平圓，曰橢圓，曰抛物線，曰雙曲線，曰擺線，曰對數曲線，曰螺線，凡七類。皆于杜德美、項梅侶、戴鄂士、徐君青、羅密士（英人，著《代數微積拾級》者）諸術外自定新術，參互並列，法密理精，複有《致曲圖解》說明之。創乘方捷術。以開各類乘方，通為擺術，可並求平方根數十位，不論益積翻積，俱為坦途，其書名《少廣縋鑿》。

　　上所舉，不過在三部《疇人傳》中阮元著初編，羅士琳續，諸可寶再續臨時撏撦。我之學力，本不配討論此學，其中漏略錯誤，定皆不少。但即循此以觀大略，已可見此學在清代發展進步之程度為何如。以李四香、汪、明、董等推算之業視王、梅；以李四香、羅、張古餘等校書補草之功視錢、戴；以徐、戴鄂士、鄒、李壬叔等會通發明之績視王、梅、李四香、汪，真有「積薪後來居上」之感。其後承以第二期西學之輸入——即所謂19世紀新科學者，而當時國中學者所造，與彼相校，亦未遑多讓。中國人對於科學之嗜好性及理解能力，亦何遽出歐人下耶？

　　吾敘述至此，惟忽有別的小感觸，請附帶一言。清代算學家多不壽，實吾學界一大不幸也。內中梅定九壽八十九，李壬叔壽七十，二老巋然綰一代終始，差足慰情。自余若焦裡堂僅五十八，戴鄂士僅五十六，王寅旭、戴東原皆僅五十五；鄒特夫僅五十一，鄒叔績僅四十九，馬遠林僅四十八，汪孝嬰僅四十六，李四香、夏紫笙皆僅四十五。尤促者，熊韜之僅三十九，孔巽軒僅三十五，董方立僅三十三，左壬叟、曾栗卒年未詳，大抵皆不逾四十。嗚呼！豈茲事耗精太甚，易損天年耶？何見奪之速且多也。夫使巽軒、方立輩有定九壽，則所以嘉惠學界者宜何如哉？吾又感覺算學頗恃天才，故有早歲便能成家者。又洪楊之亂，學者多殉，而算家尤眾。徐君青以封疆江蘇巡撫死綏，固宜矣。乃若羅茗香、馬遠林、鄒叔績、戴鄂士、顧尚之、淩厚堂堃、張南坪福禧，皆先後及難。其餘諸家遺著投灰燼者且不少。嗚呼！喪亂之為文化厄，有如是也。

學達書庫(xuoda.com)