別鬧了，費曼先生(8)

八

　　1-8.自創數學符號

　　那時我還試過自己編題目和定理。比方說，當我在計算一些式子的時候，我會想這些式子在實際情況下可否派上用場。例如我編過一堆跟直角三角形有關的題目，但我的題目不像傳統那樣已知兩邊求第三邊，我給的已知條件是兩邊之差。典型的實際例子是：這裡有根旗杆，從杆頂垂下一根比旗杆長3英尺的繩子。把繩子拉直時，它的末端距離杆底5英尺。我的問題是：旗杆究竟有多高呢？

　　我研究出一些方程式，用以解答這類題目。而在這過程中，我發現了三角數學上的某些關係，像sin2＋cos2＝1之類。事實上在這之前數年，當我還只有十一二歲時，便曾經從圖書館借過一本關於三角的書來讀，不過那本書早就還回去，不在手邊了，依稀只記得三角談的淨是正弦及余弦之間的關聯。於是我動手畫了些三角形，把所有的三角方程式弄清楚、一一加以驗算證明，我又從5度的正弦值開始，利用自己驗算出來的加角公式（addition angle formula）及半角公式（half-angle formula）計算出10度、15度……等角度的正弦、余弦及正切值。

　　幾年後，學校裡開始教三角課了，這時我還留著筆記。

　　比較之下，我發現我的證明方法跟課本上的不一樣。有時候，由於我沒有注意到某個簡單的方法，結果花了許多力氣、繞了一大圈才找到結果。但有些時候，我用的方法可聰明極了，書中所用的方法卻複雜無比！因此我跟課本可謂互有輸贏。

　　做這些計算時，我很不喜歡正弦、余弦和正切等符號。

　　我覺得「sin f」很像s乘i乘n乘f！因此我另外發明了一套符號。我的符號跟平方根有點類似，正弦用的是希臘字母Σ最上的一筆拉出來，像伸出一條長手臂般，f就放在手臂之下。正切用的是T，頂端的一筆往右延伸。至於余弦，我用的是Γ，但這符號的壞處是看起來很像平方根的符號。

　　那麼，反正弦的符號便可以用同樣的Σ，不過左右像照鏡子般顛倒過來，換句話說，長手臂現在伸向左邊，函數f放在下面。這才是反正弦呀！我覺得教科書把反正弦寫成sin-1的方式簡直是發神經！對我來說，那是1除以sin f的意思；我的符號強多了。

　　我很不喜歡f（x），那看起來太像f乘以x了。我更討厭微分的寫法：dy/dx，這令人很想把符號中的兩個d互消掉，為此我又發明了一個像「＆」的符號。對數（logarithm）

　　比較簡單：一個大寫L下面的一筆往右延伸，函數放在手臂上便成了。

　　那時候我覺得，我發明的符號絕對不會比大家都在用的差，而我用哪一套符號也跟其他人無關，可是後來我發現其中關係很重大。有一次當我跟同學討論問題時，我想也不想便開始用我的符號，同學大叫起來：「那些是什麼鬼東西？」於是我醒悟到：如果我要跟別人討論，便必須使用大家都知道的標準符號。往後，我終於放棄了使用我那些符號。

　　除此以外，我還發明過一套適用於打字機上的符號，就像Fortran電腦語言用到的符號那樣，使我能用打字機來打方程式。我也修理過打字機，用回形針及橡皮圈；當然，我不是職業的修理人員，我只不過是把出了毛病的打字機修到勉強可用的地步而已。不過對我來說，最有趣的是發現問題在哪裡，想出法子來把它修好。這些跟解謎一般好玩有趣！

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