清史稿·疇人傳二(2)

疇人傳二(2)

　　駱騰鳳，字鳴岡，山陽人。嘉慶六年舉人，道光六年，大挑一等，用知縣。以母老不原仕，改授舒城縣訓導。未一年，告養歸，教授裡中，學徒甚眾。二十二年八月，卒於家，年七十有二。性敏銳，好讀書，尤精疇人術。在都中從鐘祥李潢學，研精覃思，寒暑靡間。

　　著開方釋例四卷，自序略謂：「天元一術，見宋秦九韶大衍數中，不言創於何人。元李冶測圓海鏡、益古演段二書，亦用此例。冶稱其術出於洞淵九容，今不可詳所自矣。是書自平方以至多乘，悉用一術，即芻童、羨余諸形，亦可握觚而得，洵算術之秘鑰也。西法借根方實原於此，乃以多少代正負，徒欲掩其襲取之跡。不知正負以別異同，多少以分盈朒，毫釐千里，必有能辨之者。」

　　又著遊藝錄二卷，自識雲：「余于正、負開方之例，既為釋例以明其法矣。至於衰分方程、句股等法，以及九章所未載，與夫古今算術之未能該洽者，輒為溯其源，正其誤。不敢掠前哲之美以為名，亦不為黯黮之詞以欺世也。隨所見而識之，匯為一編。」遺稿凡十余萬言，即今傳本也。

　　南匯張文虎嘗與青浦熊戶部其光書論之曰：「承示駱司訓算書二種，讀竟奉繳。李四香開方說，詳于超步、商除、翻積、益積諸例，而不言立法之根，令初學者茫不解其所謂。駱氏于諸乘方、方廉、和較、加減之理，皆質言之，而推求各元進退、定商諸術，尤足補李書所未備，誠學開方者之金鎖匙。汪孝嬰創設兩句股同積同句股和一問，以兩句弦較中率轉求兩句弦較，立術迂回。駱氏以正、負開方徑求得兩句，頗為簡易。衡齋亦當首肯也。」其為人所推服如此。

　　項名達，字梅侶，仁和人。嘉慶二十一年舉人，考授國子監學正。道光六年，成進士，改官知縣，不就，退而專攻算學。三十年，卒於家，年六十有二。著述甚富，今傳世者，但有下學庵句股六術及圖解，複附句股形邊角相求法三十二題，合為一卷。以句股和較相求諸題術稍繁難，爰取舊術稍為變通。分術為六，使題之相同者通為一術，釐然悉有以禦之。第一、二、三術及第四術之前二題，悉本舊解，餘為更定新術，皆別注捷法，各為圖解，以明其意。第四、五、六術其原皆出於第三術，可釋之以比例。第三術以句弦較比股，若股與句弦和，以股弦較比句，若句與股弦和，是為三率連比例。凡有比例加減之，其和較亦可互相比例。故第四、五、六術諸題，皆可由第三術之題加減而得，即可因第三術之比例而另生比例。因比例以成同積，而諸術開方之所以然遂明。名達又創有弧三角總較術，求橢員弧線術，術定，未有詮釋，以義奧趣幽，難猝竟事，故六術獨先成雲。

　　名達與烏程陳傑、錢塘戴煦契最深，晚年詣益精進，謂古法無用，不甚涉獵，而專意于平弧三角，與傑意不謀而合。與傑論平三角，名達曰：「平三角二邊夾一角，逕求斜角對邊，向無其法，竊嘗擬而得之，君聞之乎？」傑曰：「未也。」錄其法以歸。蓋以甲乙邊自乘與甲丙邊自乘相加，得數寄左；乃以半徑為一率，甲角余弦為二率，甲乙、甲丙兩邊相乘倍之為三率，求得四率，與寄左數相減，鈍角則相加，平方開之，得數即乙丙邊。

　　又嘗謂泰西杜德美之割圜九術，理精法妙，其原本於三角堆，董方立定四術以明之，洵為卓見。惟求倍分弧，有奇無偶，徐有壬補之，庶幾詳備。名達嘗玩三角堆，歎其數祗一遞加，而理法象數，包蘊無窮，夫方圜之率不相通，通方圜者必以尖，句股，尖象也；三角堆，尖數也。古法用半徑屢求句股得圜周，不勝其繁。杜氏則以三角堆禦連比例諸率，而弧弦可以互通，割圜術蔑以加矣。然以此制八線全表，每求一數，必乘除兩次，所用弧線，位多而乘不便，董、徐二氏大、小弧相求法亦然。向思別立簡易法，因從三角堆整數中推出零數，但用半徑，即可任求幾度分秒之正余弦，不煩取資於弧線及他弧弦矢。且每一乘除，便得一數，似可為製錶之一助。

　　又著象數原始一書，未竟，疾革時，囑戴煦。後煦索稿于名達子錦標，校算增訂六閱月而稿始定，都為七卷。原書之四，僅六紙，並第七卷皆煦所補也。卷一曰整分起度弦矢率論，卷二曰半分起度弦矢率論，卷三、卷四曰零分起度弦矢率論，皆以兩等邊三角形明其象，遞加法定其數，末乃申論其算法。卷五曰諸術通詮，取新立弧弦矢求他弧弦矢二術、半徑求弦矢二術及杜、董諸術，按術詮釋之。卷六曰諸術明變，雜列所定弦矢求八線術，開諸乘方捷術，算律管新術，橢員求周術，以明皆從遞加數轉變而得。卷七曰橢員求周圖解，原術以袤為徑，求大員周及周較，相減而得周，補術則以廣為徑，求小員周，周較相加而得周，末系以圖解。徐有壬巡撫江蘇，郵書索煦寫定本梓行，刻甫就而有壬殉難，書與板皆毀焉。

　　有王大有者，字吉甫，仁和諸生。翰林院待詔。窮究天算，問業于處士戴煦。凡煦所著述，皆錄副本去，名達見之，因與煦訂交。大有嘗校割圜捷術合編。後殉於杭州。

　　丁取忠，字果臣，長沙人。研究象數，不求聞達，刻算書二十有一種，為白芙堂叢書。光緒初，卒於家，年逾七十。所自譔者為數學拾遺一卷，以所演算草較詳，可便初學，又意在拾遺，故未暇詳其義之出自何人。

　　又譔粟布演草二卷，自序曰：「道光壬辰，余始習算，友人羅寅交學博洪賓以難題見詢，久無以應。同治初元，始獲交南豐吳君子登太史，馭以開屢乘方法，餘始通其術，然未悉其立法之根也。後吳君遊嶺表，餘推之他題，及輾轉相求，仍多窒礙。又函詢李君壬叔，蒙示以廉法表及求總率二術，而其理始顯。後吳君又示以指數表及開方式表，李君複為之圖解以闡其義。由是三事互求，理歸一貫。餘因取數題詳為演草，並捷法圖解，都為一卷。質之南海鄒君特夫，君複為增訂開屢乘方法，並另設題演草，補所未備。即算家至精之理，如圜內容各等邊形，皆可借發商生息以明之，誠快事也！」

　　後又譔演草補一篇，序雲：「余前年與左君壬叟共輯粟布演草，原為商賈之習算者設，或一例而演數題，或一題而更數式。或用真數，或用代數。其式或橫列，或直下，雜然並陳，無非欲學者比類參觀，易於領悟也。乃初學習之，猶謂茫無入門處，蓋商賈所習算書，大都詳于文而略於式。況代數又古算術所無，宜其卒然覽之而不解也。茲更擬一題附後，特仿數理精蘊借根方體例，專詳于文，庶初學讀之，可因文知義。算理既明，則全書各式，可渙然冰釋，或兼可為習代數者之先導乎？」其鄉人李錫蕃，亦以演算名。

　　錫蕃，字晉夫。道光三十年早卒，著有借根方句股細草一卷，衍為二十有五術，取忠刊入叢書。

　　謝家禾，字和甫，錢塘舉人。與同學戴氏兄弟熙、煦相友善。少嗜西學，點線面體四部，靡不淹貫。已，複取元初諸家算書，幽探冥索，悉其秘奧。乃輯平時所得析通分加減，定方程正負，以標舉立元大耍，撰演元耍義一卷。其自序雲：「元學至精且邃，而求其要領，無過通分加減，凡四元之分正負，及相消法，互隱通分法，大致原于方程。方程者，即通分之義。方程不明，由於正負無定例，加減無定行，以訛傳訛，如梅宣城精研數理，未暇深究，他書可知矣。九章算經正負術甚明，而釋者反以意度，古誼之不明，可勝道哉！唯以衍元之法正方程之義，由是方程明而元學亦明。著演元要義，綜通分方程而論列之，附以連枝同體之分等法。通乎此，則四元庶可窺其涯涘耳。」

　　又以劉徽、祖沖之之率求弧田，求其密于古率者，撰弧田問率一卷。同裡戴煦為之序曰：「古率徑一週三，徽率劉徽所定，徑五十週一百五十七也。密率乃祖沖之簡率，徑七週二十二也。諸書弧田術皆用古率，郭太史以二至相距四十八度，求矢亦用古法。顧徽、密二率之周既盈于古，則積亦盈于古，試設同徑之圓，旁割四弧，其中兩弦相得之方三率皆同，知三率圓積之盈縮，正三率弧積之盈縮也。徽、密二率弧田古無其術，惟四元玉鑒一睹其名，而設問隱晦，莫可端倪。穀堂得其旨，因依李尚之孤矢算術細草設問立術，亦足發前人所未發也。」

　　又以直橫與句股弦和較輾轉相求，撰直積回求一卷，其自序雲：「始戴諤士著句股和較集成，予亦著直積與和較求句股弦之書，然二書為義尚淺，且直積與句弦和求三事，用立方三乘方等，得數不易，而又不足以為率，其書遂不存。近見四元玉鑒直積與和較回求之法，多立二元，嘗與諤士思其義蘊，有不必用二元者。蓋以句弦較與句弦和相乘為股冪，股弦和與股弦較相乘為句冪，而直積自乘，即句冪股冪相乘也。如以句弦較乘股弦較冪，除直積冪，即為句弦和乘股弦和冪矣。句弦和乘股弦和冪，即弦冪和冪共內少半個黃方冪也。蓋相乘冪內去一弦冪，所餘為句股相乘者一，句弦相乘者一，股弦相乘者一，此三冪合成和冪，則少一半黃方冪。半黃方冪，即句弦較股弦較相乘冪也。加一半黃方冪，即為弦冪和冪共矣。加二直積，即二和冪也。減六直積，即二較冪也。又句弦和乘股弦較冪，為句冪內少個句股較乘股弦較冪也。股弦和乘句弦較冪，為股冪內多個句股較乘句弦較冪也。減一句股較乘股弦較冪，尚餘一句股較冪矣。術中精意，皆出於此。其他之參用常法者，可不解而自明耳。草中既未暇論，恐習者不知其理，因揭其大旨于簡端，見演段之不可不精也。」

　　家禾歿後，戴熙搜遺稿，囑其弟煦校讎而授諸梓。煦精算，見忠義傳。著有補重差圖說，句股和較集成消法簡易圖解，對數簡法，外切密率，假數測圓，及船機圖說等。

　　吳嘉善，字子登，南豐人。咸豐十一年進士，改翰林院庶吉士，散館授編修。與徐有壬同治算學。同治改元，避粵匪亂游長沙，識丁取忠。逾年，客廣州，因鄒伯奇又識錢塘夏鸞翔。三人志同道合，相得益彰。光緒五年，奉使法蘭西，駐巴黎。後受代還，旋卒。

　　所譔算書，首述筆算。次九章翼，曰今有術，曰分法，曰開方，曰平方平員各術。推演方田者，曰立方立員術，推演商功者，曰句股，曰衰分術，曰盈不足術，曰方程術。於句股術後，次附平三角、弧三角測量高遠之術。又次則專述天元四元之書，為天元一術釋例，為名式釋例，為天元一草，為天元問答，為方程天元合釋，為四元名式釋例並草，為四元淺釋。自序曰：「算學至今日，可謂盛矣。古義既彰，新法日出，前此所未有也。余與丁君果臣皆癖此，既忘其癖，更欲以癖導人。嘗苦近世津逮初學之書無善本，梅文穆公所刪之算法統宗，今亦不傳。因商榷述此，取其淺近易曉，以為升高行遠之助雲。」

　　羅士琳，字茗香，甘泉人。以監生循例貢太學，嘗考取天文生。咸豐元年，恩詔徵舉孝廉方正之士，郡縣交薦，以老病辭。三年春，粵匪陷揚州，死之，年垂七十矣。少治經，從其舅江都秦太史恩複受舉業，已乃棄去，專力步算，博覽疇人書，日夕研求數年。

　　初精西法，自譔言曆法者曰憲法一隅。又思句股、少廣相表裡，而方田與商功無異，差分與均輸不殊。按類相從，摘九章中之切於日用者，悉以比例馭之，匯為十二種。以各定率冠首，以借根方繼後，以諸乘方開法附末，凡四卷，曰比例匯通，雖悔其少作，實便初學問途。

　　後見四元玉鑒，服膺歎絕，遂壹意專精四元之術。士琳博文強識，兼綜百家，于古今算法尤具神解，以朱氏此書實集算學大成，思通行發明，乃殫精一紀，步為全草，並有原書於率不通及步算傳寫之訛，悉為標出，補漏正誤，反覆設例，申明疑義，推演訂證。就原書三卷二十有四門，廣為二十四卷，門各補草。

　　嘗為提要鉤元之論，謂：「是書通體弗出九章範圍，不獨商功修築、句股測望、方程正負已也。如端匹互隱、廩粟回求寓粟布，如意混和寓借衰，茭草形段、果垛疊藏，如像招數寓商功中之差分，直段求源、混積問元、明積演段、撥換截田、鎖套吞容寓方田、少廣諸法。他若分索隱之為約分命分，方員交錯、三率究員、箭積交參之為定率兼交互。至於或問歌彖、雜範類會，以其各自為法，不能比類。故一則寄諸歌詞，一則編成雜法，均似補遺。大旨皆以加、減、乘、除、開方、帶分六例為問，每門必備此例，略簡易而詳繁難，尤於自來算書所無者，必設二問以明之。如混積問元中既設種金田及句三股四八角田為問。撥換截田中複設半種金田，鎖套吞容中複設方五斜七八角田為問。又果垛疊藏兩設員錐垛，雜範類會既設徽率割員，又設密率割員是矣。更有一門專明一義者，如和分索隱之分開方，三率究員兩儀合轍之反覆互求是矣。是書但雲如積求之，如積有用定率為同數相消者，有如問加減乘除得積為同數相消者。祖序謂：『平水劉汝諧撰如積釋鎖，惜今不傳。』意者其釋此例歟？」

　　道光中，得朱氏算學啟蒙于京師廠肆，士琳複加斠詮刊佈之。此書總二十門，凡二百五十九問，其名術義例多與玉鑒相表裡。士琳為之互斠，始於天元，終於四元，義主精邃，所得甚深。考大德四年莫若序，計後此書四年。此書首列乘除布算諸例，始於超徑等接之術，終於天元如積開方，由淺近以至通變，循序漸進，其理易知。名曰啟蒙，實則為玉鑒立術之根，此一證也。玉鑒原本十行，行十九字，「今有」低一格，「術曰」又低二格，與此書同，此二證也。玉鑒鬥斛之「鬥」別作「貐」，此假借字，本漢書平帝紀及管子乘馬篇，尚雜見於唐以前之孫子、五曹、張丘建諸算經，鈞石之「石」，說文本作「柘」，玉鑒作「碩」，「碩」「石」古雖互通，然假「碩」為「石」，則僅見于毛詩甫田疏引漢書食貨志，而算書罕見，又玉鑒瓊田之「瓊」，雖見李籍九章音義，為字書所無，此書並同，此三證也。玉鑒雖亦三卷，而門則為二十四，問則二百八十八，較多此書四門二十九問，然以四字分類，其體裁同。且如商功、修築、方程、正負之屬，則又二書互見，此四證也。玉鑒如意混和第一問，據數知一秤為十五斤，適與此書之斤秤起率合，此五證也。玉鑒鎖套吞容第九問，方五斜七八角田左右逢元第六、第十三、第二十諸問，有小平小長，皆向無其術。此書卷首明乘除段，即載平除長為小長，長除平為小平之例。其田畝形段第十五問，覆載方五斜七八角田求積通術，此六證也。他如玉鑒或問歌彖第四問，與此書盈不足術第七問，又玉鑒果垛疊藏第十四問，與此書堆積還原第十四問，又玉鑒方程正負第四問，與此書方程正負第五問，題皆約略相同，此七證也。知系朱氏原書佚而複出，並其算法一則，亦為附列，間有魚豕，悉仍其舊，但各標識於誤字旁，別記刊誤於卷末。

　　又嘗以乾隆間明氏捷法校得八線對數表，一度十三分二十秒正切第五字「０」誤「一」；又六度四十一分十秒正切第五字「０」誤「六」；又十二度五十分正弦第六字「七」誤「五」；又十六度三十二分十秒正切第七字「九」誤「０」；又四十二度三十二分四秒正切第九字「五」誤「四」。可見西人所能，中人亦能之。

　　又因會通四元玉鑒如像招數一門，更取明氏捷法，禦以天元，知密率亦可招差，其弧與弦矢互求之法，與授時曆之垛積招差一一符合。且以祖氏綴術失傳，其法廑見於秦書，即大衍之連環求等遞減遞加，亦與明氏捷法相近。爰融會諸家法意，撰綴術輯補二卷。

　　又甄錄古今疇人，仍阮氏體例為列傳，采前傳所未收者，得補遺十二人，附見五人，續補二十人，附見七人，合共四十有四人，次於前傳四十六卷之後。

　　集所校著都為觀我生室匯十二種。如四元玉鑒細草二十四卷，釋例二卷，校正算學啟蒙三卷，校正割圜密率捷法四卷，續疇人傳六卷，皆別有單行本。

　　外已刻者尚得七種，曰句股容三事拾遺三卷，附例一卷，本繪亭監副博啟法補其遺，取內容方邊員徑垂線交互相求，一以天元馭之。曰三角和較算例一卷，取斜平三角形中兩邊夾一角術鎔入天元法，用和較推演成式。曰演元九式一卷，括玉鑒中進退消長諸例，借無數之數，以正負開方式入之。曰台錐積演一卷，以玉鑒茭草、果垛二門可補少廣之闕，爰取台錐形段引而伸之。曰周無專鼎銘考一卷，以四分周術佐以三統漢術，推得宣王十有六年九月既望甲戌，與銘辭正合。曰弧矢算術補一卷，以元和李四香原術未備，為增補二十七術，合成四十術。曰推算日食增廣新術一卷，推廣正升斜升橫升之算法，以求太陰隨地隨時之明魄方向分秒，複推其術，以求交食限內之方向，及所經歷之諸邊分。

　　余若春秋朔閏異同考、綴術輯補交食圖說舉隅、句股截積和較算例、淮南天文訓存疑、博能叢話，凡若干卷，未有刻本。其同縣友有易之瀚者，亦以算名。

　　易之瀚，字浩川。知士琳有四元玉鑒補草，因從問難，為撰四元釋例一卷。凡開方例二十九則，天元例十一則，四元例十三則。

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