清史稿·疇人傳二(3)

疇人傳二(3)

　　顧觀光，字尚之，金山人。太學生，三試不售，遂無志科舉，承世業為醫。鄉錢氏多藏書，恒假讀之。博通經、傳、史、子、百家，尤究極天文曆算，因端竟委，能抉其所以然，而摘其不儘然。時複蹈瑕抵隙，蒐補其未備。如據周髀「笠以寫天，青黃丹黑」之文及後文「凡為此圖」云云，而悟篇中周徑裡數皆為繪圖而設。天本渾員，以視法變為平員，則不得不以北極為心，而內外衡以次環之，皆為借象，而非真以平員測天也。

　　開元占經魯曆積年之算不合，因用演積術，推其上元庚子至開元二年歲積，知占經少三千六十年。又以占經顓頊曆歲積考之史記秦始皇本紀，知其術雖起立春，而以小雪距朔之日為斷。蓋秦以十月為歲首，閏在歲終，故小雪必在十月，昔人未及言也。李尚之用何承天調日法考古曆日法朔餘強弱不合者十六家，以為未能推算入微。爰別立術，以日法朔餘輾轉相減，以得強弱之數。但使日法在百萬以上皆可求，惟朔余過於強率者不可算耳。授時術以平定立三差求太陽盈縮，梅氏詳說未明其故。讀明志乃知即三色方程之法。謂凡兩數升降有差，彼此遞減，必得一齊同之數。引而伸之，即諸乘差，則八線、對數、小輪、橢員諸術，皆可共貫。讀占經所載瞿曇悉達九執術，知回回、太西曆法皆源於此。其所謂高月者即月孛，月藏者即月引數，日藏者即日引數，特稱名不同，亦猶回曆稱歲實為宮日數，朔策為月分日數也。

　　其論婺源江氏冬至權度，推劉宋大明五年十一月乙酉冬至前以壬戌丁未二日景求太陽實經度，而後求兩心差，乃專用壬戌。今用丁未求得兩心差，適與江氏古大今小之說相反。蓋偏取一端，其根誤在高沖行太疾也。西法用實朔距緯求食甚兩心實相距，術繁而得數未確。改以前後兩設時求食甚實引徑得兩心實相距，不必更資實朔，較本法為簡而密矣。

　　西人割圜，止知內容各等邊之半為正弦，而不知外切各等邊之半為正切。乃依六宗、三要、二簡諸術，別立求外切各等邊之正切法，以補其缺。杜德美求員周術，用員內容六邊形起算，巧而降位稍遲，謂內容十等邊之一邊，即理分中末線之大分，距周較近。且十邊形之邊與周同數，不過遞進一位，而大分與全分相減即得小分，則連比例各率，可以較數取之。入算尤簡易，可用弧度入算，不用弧背真數。然猶慮其難記，仍不能無藉於表，因又合兩法用之，則術愈簡，而弧線、直線相求之理始盡。錢塘項氏割圜捷術，止有弦矢求餘線術，以為可通之割、切二線，因補其術。西人求對數，以正數屢次開方，對數屢次折半，立術繁重。李氏探原以尖錐發其覆，捷矣，而布算術猶繁。且所得者皆前後兩數之較，可以造表而不可徑求。戴氏簡法及西人數學啟蒙，又有新術，而未窮其理。乃變通以求二至九之八對數，因任意設數，立六術以禦之，得數皆合。複立還原四術，並推衍為和較相求八術，為自來言對數者所未有也。又謂對數之用，莫便於八線，而西人未言其立表之根，因冥思力索，仍用諸乘方差，迎刃而解，尤晚歲造微之詣也。其它凡近時新譯西術，如代數、微分、諸重學，皆有所糾正，類此。

　　所著曰算賸初、續編凡二卷。曰九數存古，依九章分為九卷，而以堆垛、大衍、四元、旁要、重差、夕桀、割圜、弧矢諸術附焉，皆采古書而分門隸之。曰九數外錄，則隱括四術為對數、割圜、八線、平三角、弧三角各等面體、員錐三曲線、靜重學、動重學、流質重學、天重學，凡記十篇。曰六曆通考，則據占經所紀黃帝、顓頊、夏、殷、周、魯積年而加以考證。曰九執曆解，曰回回曆解，皆就原法疏通證明之。曰推步簡法，曰新曆推步簡法，曰五星簡法，則就原術改度為百分，省迂回而歸簡易，蓋於學實事求是，無門戶異同之見，故析理甚精，而談算為最雲。其友人韓應陛，亦以表章算書顯。

　　應陛，字對虞，婁縣人。道光二十四年舉人，官內閣中書舍人。少好讀周、秦諸子，為文古質簡奧，非時俗所尚。既而從同裡姚椿遊，得望溪、惜抱相傳古文義法。西人所創點、線、面、體之學，為幾何原本，凡十五卷，明萬曆間利譯止前六卷。咸豐初，英人偉烈亞力續譯後九卷，海甯李壬叔寫而傳之。應陛反覆審訂，授之剞劂，亞力以為泰西舊本弗及也。外若新譯重、氣、聲、光諸學，應陛推極其致，往往為西人所未及雲。

　　左潛，字壬叔，大學士宗棠從子。補縣學生。于詩、古文辭無不深造，尤明算理。長沙丁取忠引為忘年交。早卒，士林惜之。所學自大衍、天元及借根方、比例諸新法，無不貫通。且能自出己意，變其式，勘其誤，作為圖解，往往突過先民。嘗增訂徐有壬割圜綴術，既成，忽悟通分捷法析分母、分子為極小數，根同者去之，凡多項通分，頃刻立就。因演數草，為通分捷法一帙。

　　所譔綴術補草四卷，自序曰：「自泰西杜德美創立割圜九術，以屢乘屢除通方圜之率，我朝明氏、董氏各為之說，而杜書之義，推闡靡遺。顧八線互求，尚無通術，未足以盡一圜之變，非明氏、董氏之智力，不能因法立以盡其變也。其能窮杜氏之義也，資于借根方；其不能廣杜氏之法也，亦限於借根方。蓋借根方即天元一之變術，究不如元術之巧變莫測也。是書祖杜宗明，又旁參以董氏之法，八線相求，各立一式，因式立法，因法入算。鄉之不可立算者，今皆能馭之以法，即有不能立法布算者，而其式存，則能濟法之窮；而度圜諸線，一以貫之矣。推其立式之由，所謂比例術，即明氏定半徑為一率，所有為二率或三率之法也。所謂還原術，即明氏弧背求正矢，又以正矢求弧背之法也。所謂借徑術，即明氏借十分全弧通弦率數求百分全弧通弦率數，求千分全弧通弦率數諸法也。所謂商除法，又即還原術之變法。是故綴術胎於明氏，而又足以盡明氏之變。明氏之未立式者，以借根方取兩等數，其分母、分子雜糅繁重，既不可通，其多號、少號，輾轉互變，又不可約。試取明氏書馭之以綴術，其遞降各率，頃刻可求。則是書也，其真能因法立法，別樹幟于明、董之後者歟？書為徐君青先生所作，吳君子登成之，顧詳於式而略於草。敬考其立法之原，不可遽得，學者難焉，潛因於暇日為補草四卷，因綴數語于簡端雲。」

　　又譔綴術釋明二卷，湘鄉曾紀鴻為之序，略曰：「易系雲：『極其數遂定天下之象。』則綜天下難定之象以歸有定，莫數若矣。在昔聖神，制器尚象，利物前民，於數理必有究極精微，範圍後世者，代久年湮，漸至失傳。近三百年，泰西猶能推闡古法，而中國才智之士，或反率其成轍。孔子曰：『天子失官，學在四夷。』正今日數學之謂也。中國舊有弧矢算術，而未標角度八線鈐表，則雖有用其理以入算者，而無表可檢。則每求一數，必百倍其功，而所得數仍非密率。明代譯出泰西八線表及八線對數表，覈其立法得數之原，甚屬繁難，而成表之後，一勞永逸。大至無外，細及極微，莫不以此表測之，則其用之廣大可想。然得表之後，雖無事於再求，而任舉一數，無從較其訛誤。若仍用舊術，則非幣月經旬，不能得一數，此明靜菴、董方立推演杜德美弧矢捷術之所以可貴也。向來求八線者，例用六宗、三耍、二簡各法，若任言一弧，必不能考其弦矢諸數。至杜氏創立屢乘屢除之法，則但有弧徑，而八線均可求。董方立解杜術，先取其線之極微者，令與與弧線合，而後用連比例以推至極大。又考諸率數與尖錐理相合，故用尖錐以釋弧矢，而弧矢之數理以顯。明靜菴解杜術，先取四分弧與十分弧之通弦直線之極大者，用連比例以推至千分、萬分弧通弦之極微者，考其乘除之率數，與杜術乘除之原理合，故用綴術以釋弧矢，而弧矢之數理亦出。董、明二氏，均為弧矢不祧之宗，無庸軒輊。邇百年中繼起者，如戴、徐、李三氏所著書，雖自出心裁，要皆奉董、明為師資也。吾友左君壬叟，于數學尤孜孜不倦，遇有疑難，必窮力追索，務洞澈其奧窔。嘗謂方員之理，乃天地自然之數，吾之宗中宗西，不必分畛域，直以為自得新法也可。曾釋君青徐氏綴術，又釋戴鄂士求表捷術，茲又釋明靜菴弧矢捷術，而一貫以天元寄分之式，於員率一道三致意焉，可謂勤矣。孰意天厄良才，壬叟竟於甲戌秋不永年而逝，凡在同人，無不嘆惜！況餘與之為兩世神交，安能無愴切耶！」

　　曾紀鴻，字栗誠，大學士國藩少子。恩賞舉人。早卒。紀鴻少年好學，與兄紀澤並精算術，尤神明於西人代數術。銳思勇進，創立新法，同輩多心折焉。謂大衍求一術亦可以代數推求，依題演之，理正相通，撰對數詳解五卷，始明代數之理，為不知代數者開其先路。中言對數之理，末言對數之用，明作書之本意。其于常對、訥對，辨析分明。先求得各真數之訥對，複以對數根乘之，即為常對數。級數朗然，有條不紊，雖初學循序漸進，無不可相說以解焉。

　　夏鸞翔，字紫笙，錢塘人。以輸餉議敘，得詹事府主簿。為項梅侶入室弟子。講究曲線諸術，洞悉員出於方之理。匯通各法，推演以盡其變，譔洞方術圖解二卷，自序略曰：「自杜氏術出，而求弦矢得捷徑焉。顧猶煩乘除，演算終不易，思一可省乘除之法而迄未得。丁巳夏，客都門，細思連比例術者，尖堆底也。尖堆底之比例，與諸乘方之比例等。以之求連比例術，必合諸乘方積而並求之。設不得諸乘方積遞差之故，方積何能並求？且並求方積而欲以加減代乘除，又必得諸較自然之數而後可，誠極難矣。既而悟曰，方積之遞加，加以較也。較之遞生，生於三角堆也。較加較而成積，亦較加較而成較。且諸乘方積之數與諸乘尖堆之數，數異而理同。三角堆起於三角形，故屢次增乘，皆增以三角。方積起於正方形，故累次增乘，皆增以正方。三角之較數，增一根則增一較；方積之較數，增一乘則增一較，理正同也。累次相較，較必有盡，惟其有盡，乃可入算。相連諸弦矢所以愈相較而較愈均者，正此理矣。諸較之理，皆起於天元一，而生於根差。遞加根一，諸乘方根差皆一。一乘之數不變，故可省乘。若增其根差，非複單一，則乘不能省。弦矢弧背之差，或一秒，或十秒，即以一秒、十秒弧線當根差，按根遞求，即可盡得諸乘方之較。以較加較，即盡得所求弦矢各數矣，豈不捷哉！爰演為求弦矢術，俾求表者得以加減代乘除。並細繹立術之義，以俟精於術數者採擇。」

　　又譔致曲術一卷，曰平員，曰橢員，曰抛物線，曰雙曲線，曰擺線，曰對數曲線，曰螺線，凡七類。類皆自定新術，參差並列，法密理精。複著致曲圖解一卷，謂天為大員，天之賦物，莫不以員。顧員雖一名，形乃萬類。循員一匝，而曲線生焉。西人以線所生之次數分為諸類，一次式為直線；二次式有平員、橢員、抛物線、雙曲線四式；三次式有八十種；四次式有五千餘種；五次以上，殆難以數計矣。今但二次式四種，溯其本源，並附解諸乘方。抛物線形雖萬殊，理實一貫。諸曲線式備具於員錐體，員錐者，二次曲線之母也。橢員利用聚，抛物線利用遠，雙曲線利用散，其理皆出於平員。苟會其通，則制器尚象，仰觀俯察，為用無窮矣。今為一一解之，其目為諸曲線始於一點終於一點第一，諸式之心第二，準線第三，規線第四，橫直二徑第五，兌徑亦名相屬二徑第六，兩心差第七，法線切線第八，斜規線又名曲率徑第九，縱橫線式第十，諸式互為比例第十一，八線第十二。

　　又嘗立捷術以開各乘方，不論益積、翻積，通為一術，俱為坦途，可徑求平方根數十位，成少廣縋鑿一卷。

　　鸞翔同治三年卒。因方積之較而悟求求弦矢之術，駸駸乎駕西人而上之，然微分所棄之常數，猶方積之方與隅也。所求之變數，猶兩廉遞加之較也。其術施之曲線，無所不通，鸞翔猶待逐類立術，是則不能不讓西人以獨步。然西法開方，自三次式以上，皆枝枝節節為之，不及中法之一貫。鸞翔又於中法外獨創捷術，非西人所能望其項背雲。

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