清史稿·疇人傳二

疇人傳二(1)

　　李潢，字雲門，鐘祥人。乾隆三十六年進士，由翰林官至工部左侍郎。博綜群書，尤精算學，推步律呂，俱臻微妙。著九章算術細草圖說九卷，附海島算經一卷，共十卷。

　　其自序重差圖雲：「圖九，望遠，海島舊有圖解，餘八圖今所補也。同式形兩兩相比，所作四率，二三率相乘，與一四率相乘同積。如欲作圖明之，第取一三率聯為一邊，又取二四率聯為一邊，作相乘長方圖之，自然分為四冪。又以斜弦界為同式句股形各二，則形勢驗矣。舊圖於形外別作同積二方，至兩形相去遼遠者，又必宛轉通之，皆可不必也。圖中以四邊形、五邊形立說，似與句股不類，然於本形外補作句股形，則亦句股也。四率比例法，在九章粟米謂之今有，一為所有率，二為所求率，三為所有數，四為所求數，在句股則統目之為率。劉氏注雲：『句率股率，見句見股者是也。』今祗雲同式相比者，取省易耳，異乘同除則一也。」書甫寫定，潢即病。俟吳門沈欽裴算校，方可付梓。越八年，其甥程矞采家為之校刊，以成其志。

　　九章初經東原戴氏從永樂大典中錄出，一刻于曲阜孔氏，再刻于常熟屈氏，悉依戴氏原校本刊刻。其時古籍甫顯，校訂較難，不無間有扞格，自是天下之習九章者，莫不家弆一編，奉為圭臬。而劉徽九章亦從此有善本矣。潢又嘗因古算經十書中，九章之外最著者，莫如王孝通之輯古。唐制開科取士，獨輯古四條限以三年，誠以是書隱奧難通。世所傳之長塘鮑氏、曲阜孔氏、羅江李氏各刻本，又悉依汲古閣毛影宋本，祗有原術文而未詳其法，且複傳寫脫誤。雖經陽城張氏以天元一術推演細草，但天元一術創自宋、元時人，究在王氏後，似非此書本旨。爰本九章古義，為之校正，凡其誤者糾之，闕者補之，著考注二卷。以明斜袤廣狹割截附帶分並虛實之原，務如其術乃止。稿未成，潢歿後，為南豐劉衡授其鄉人，以西士開方法增補算草，並附圖解，刻於江西省中，喧賓奪主，殊亂其真。矞採取江西刻本削去圖草，仍以原考注刊佈。

　　武進李兆洛為之序，曰：「輯古何為而作也？蓋闡少廣、商功之蘊而加精焉者也。商功之法，廣袤相乘，又以高若深乘之為立積，今轉以積與差求廣袤高深，所求之數，最小數也。曷為以最小數為所求數？曰，求大數，則實方廉隅，正負雜糅。求小數，則實常為負，方廉隅常為正也。觀台羨道，築堤穿河，方倉圓囤，芻甍輸粟，其形不一，概以從開立方除之何也？曰，一以貫之之理也。物生而後有象，象而後有滋，滋而後有數。斜解立方，得兩巉堵，一為陽馬，一為鱉臑。陽馬居二，鱉臑居一，不易之率也。今于平地之余續狹斜之法，無論為巉堵、為陽馬、為鱉臑，皆作立積。觀其立積內不以所求數乘者為減積，以所求數一乘者為方法，再乘者為廉法，所求數再自乘為立方，即隅法也。從開立方除之，得所求數。若繪圖於紙，令廣袤相乘，以所求數從橫截之。剖平冪為若干段，又以截高與所求數乘之。分立積為若干段，若者為減積，若者為方，若者為廉，若者為隅，條段分明，歷歷可指。作者之意，不煩言而解矣。其雲廉母自乘為方母，廉母乘方母為實母者之分，開方之要術也。先生於是書立法之根，如鋸解木，如錐劃地，又複補正脫誤，條理秩然，信王氏之功臣矣！爰述大旨，以告世之習是書者，無複苦其難讀雲。」

　　汪萊，字孝嬰，號衡齋，歙縣人。年十五，補博士弟子。弱冠後，讀書于吳葑門外，慕其鄉江文學永、戴庶常震、金殿撰榜、程徵君易疇學，力通經史百家及推步曆算之術。嘉慶十二年，以優貢生入都，考取八旗官學教習，會禦史徐國楠奏請續修天文、時憲二志，經大學士首舉萊與徐准宜、許沄入館纂修。十四年，書成。議敘，以本班教職用，選授石埭縣訓導。十八年，應省試，得疾歸，卒於官，年四十有六。先是十一年夏，黃河啟放王營減壩，正溜直注張家河，會六塘河歸海。兩江督臣奉上命，查量雲梯關外舊海口與六塘河新海口地勢高下，延萊測算，蓋其精算之名，久為官卿所知。曾制渾天、簡平、一方各儀器觀測。

　　與郡人巴樹谷最友善，客江、淮間，又與焦孝廉循、江上舍藩、李秀才銳，辯論宋秦九韶、元李冶立天元一及正、負開方諸法。天性敏絕，極能攻堅，不肯苟於著述。凡所言，皆人所未言，與夫人所不能言。

　　嘗以古書八線之制，終於三分取一，用益實歸除法求之，其一表之真數，僅得十之二。因悟得五分之一通弦與五分之三通弦交錯為三角形，比例立法，以取五分之一之通弦，而弦切之數益密。梅氏環中黍尺，有以量代算之術，惟求倚平儀外周之兩角，而縮于內半周之角未詳。其法較易，因立新術，量取不倚外周之角度，而三角之量法乃全。堆垛有求平三角、立三角、尖堆積法，不及三乘方以上，又複推而廣之，自三乘、四乘以上之尖堆，皆可由根知積。並及諸物遞兼之法，以補古九章所未備。

　　又糾正梅文穆公句股知積術，及指識天元一，正、負開方之可知、不可知。其糾正句股知積術也，文穆赤水遺珍稱：「有句股積及股弦和較求句股，向無其術，苦思力索，立法四條。」其門人丁維烈又造減縱翻積開三乘方法，文穆許之。萊謂：「句股形等積、等弦和，帶縱立方形等基、等高闊和，皆有兩形互易。如句二十，股二十一，弦二十九，句弦和四十九，句股積二百一十。若句十二，股三十五，弦三十七，句弦積亦四十九，句股積亦二百一十。設問者暗執一形，則對者交盲兩數。梅、丁諸公法成而不可用，蓋兩句弦較，與一句弦和，恒為連比例之三率。其兩句弦較，即首、末二率；兩較減一和之餘，即中率；而句弦和必為三率並。遂創立有兩積相等、兩句弦和相等、求兩句股形之法。以四倍句股積自乘，句弦和除之，為帶縱長立方積。以句弦和為縱，開得數為兩句弦較之中率，自乘為帶縱平方積。又以中率與句弦和相減為長闊和，求得長闊兩根為兩句股較，用求兩句股形各數。又同積之邊，彼此可互，三次之乘，先後可通，故四倍句股積自乘，即兩形之倍句相乘為底，兩形之股相乘為高，即猶以中末乘首。中化為中率，再乘為立方三率，並為帶縱。由是推得立方形兩高數恒為首末二率，高闊和恒為三率，並數與等積、等弦和之兩弦較及弦和絲毫無異。如高九闊十，高闊和十九，立方積九百。若高四闊十五，高闊和亦十九，立方積亦九百，其數莫不由兩形相引而出。故其法即命積為帶縱長立方積，以高闊和為所帶之縱。用帶縱長立方法開得本方根，為兩形高數之中率。與高闊和相減，餘為帶縱之平方長闊和。中率自乘，為帶縱平方積。用帶縱平方長闊和法開之，得長闊一根，為兩形之兩高數。兩高與和相減，為兩闊數。」

　　其指識正、負開方也，「元李冶傳洞淵九容術，撰測圓海鏡、益古演段，以明天元如積相消，其究必用正、負開方，互詳于宋秦九韶數學九章。梅文穆公雖指天元一為西人借根方所由來，而正、負開方則未有闡明者。元和李秀才銳特為讎校，謂少廣一章，得此始貫於一。好古之士，翕然相從。萊獨推其有可知、有不可知。如測圓海鏡邊股第五問『圜田求徑二百四十步與五百七十六步共數』，而李仁卿專以二百四十為答。數學九章田域第二題『尖田求積二百四十步與八百四十步共數』，而秦道古專以八百四十為答。乃自二乘方以下，縷析推之，得九十五條。凡幾根數為帶縱長闊較則可知，為帶縱長闊和則不可知。又推得幾真數少，幾根數又多，幾平方與一立方積等多少雜糅，和較莫定。立法以審之，以幾平方數用幾立方數除之，得數乘幾根數，以較幾真數。若少於真數，則以幾平方為高闊較，是為可知。若多於真數，則或幾平方為通分法，三母總數、幾真數為三母維乘之共數，幾根數為通分之共子，如二、如六、如十二。設真數一百四十四，少二百八，根數多二十，平方積與一立方積相等，則三數皆同，是為不可知。」

　　蓋以一答為可知，不止一答為不可知。故李秀才銳跋其書，括為三例以證明之。謂：「隅實同名者不可知；隅實異名，而從廉正負不雜者可知；隅實異名，而從廉正負相雜，其從翻而與隅同名者可知，否則不可知。隅實異名，即帶縱之長闊較也，較僅一答；隅實同名，即帶縱之長闊和也，和則不止一答。」銳以隅實同名、異名，明一答與不止一答；萊以長闊、和較，明可知、不可知，其義一也。著有衡齋算學七冊，考定通藝錄磬氏倨句解一冊。

　　陳傑，字靜弇，烏程諸生。考取天文生，任欽天監博士，供職時憲科兼天文科，司測量。累官國子監算學助教。道光十九年，謝病歸，卒於家。生平邃于算學，尤神明於比例之用。初著輯古算經細草一卷，後十餘年，又為之指畫形象，成圖解三卷；又博采訓詁，考正其傳寫之舛訛，稽合各本之同異，別成音義一卷。

　　其自述比例言有曰：「比例之法，昉自九章，傳由西域，在古法曰異乘同除，在西法曰比例等。假如甲有錢四百，易米二鬥，問乙有錢六百，易米幾何？答曰三鬥。法以乙錢為實，甲米乘之，得數，甲錢除之，即得。錢與米異名相乘，與錢同名相除，故謂之異乘同除，此古法也。以甲錢比甲米，若乙錢與乙米。凡言以者一率，言比者二率，言若者三率，言與者四率。二三相乘，一率除之，得四率，此西法也。古法元、明時中土幾以失傳，不知何時流入西域。明神宗時，西人利瑪竇來中國，出其所著算書，中人矜為創獲，其實所用皆古法，但異其名色耳。茲以西人名色解王氏，固取其平近，亦以名中、西之合轍也。」

　　又有論曰：「二十一史律志無不用比例者，他如九章、緝古、十種算書，多用比例，無如古人總不言比例。如緝古第二問，求均給積尺，欲以本體求又一形之體，忽取兩面冪之數，一用以乘，一用以除，而得數。又第九問求員囤，第十問求員窖，忽以周徑乘除，即如方亭法求之，諸數悉得。走作圖解，審諦久之，而始知為比例，乃明言比例以揭之。嗣是而閱古算書者，罔弗比例矣。」

　　又自道光以來，嘗親在觀象臺督率值班天文生頻年實測黃、赤大距為二十三度二十七分，未經奏明，故當時未敢用。迨甲辰歲修儀象考成續編，監臣即取此數上之，而欽定頒行焉。

　　晚年所譔為算法大成，上編十卷，首加、減、乘、除，次開方、句股，次比例、八線，次對數，次平三角、弧三角。門分類別，皆先列舊法，而以新法附之，圖說理解，不憚反覆詳明，

　　專為引誘初學設也。下編十卷，則有目無書。其言曰：「算法之用多端，第一至要為治曆，故下編言在官之事，先治曆，次出師，次工程錢糧，次戶口鹽司，次堆積丈量；儒者則考據經傳，下及商賈庶民，則貲本營運，市廛交易，持家日用，凡事無钜細，各設題為問答，以明算法之用，蓋如此之廣雲。」下編似未成。其門人丁兆慶、張福僖均以算名。

　　兆慶，字寶書，歸安人。沉潛好學，為項學正兩邊夾角逕求對角新法圖說，謂其講解明晰，戛戛獨造。

　　福僖，字南坪，烏程諸生。精究小輪之理，著有慧星考略。

　　時曰淳，字清甫，嘉定人。精算術。發明古人術意，無不入微。咸豐末，與長沙丁取忠同客胡林翼幕府，每與商榷數理，見丁氏數學拾遺之百雞術，謂與二色方程暗合。因為廣衍，立二十八題，以「舊學商量加邃密、新知培養轉深沉」十四字識其上下，為十四耦。諸題皆借方程為本術，並述大衍求一術以博其趣，作百雞術衍二卷。

　　自序略曰：「張丘建算經雞翁雞母題問，甄、李兩注及劉孝孫草，皆未達術意，不可通。近焦理堂所釋尤誤。讀吾友丁君果臣數學拾遺，設術與二色方程暗合，乃通法也。駱氏藝遊錄用大衍求一術，以大小較求中數，取徑頗巧，然遇較除共較實適盡者，則不可求。方程術則遇法除實得中數，不盡者以分母與減率相求而齊同之，無不可得。駱氏殆未知有方程本術耳。夫題祗本經一術，算理之微妙，不如孫子不知數一問，而術文各隱秘。彼則但舉用數，此亦僅著加減三率，于前半段取數之法皆闕如。豈古人不傳之秘，必待學者深思而自得乎？孫子求一術，至宋秦道古發之，獨是題襲謬傳訛，無借方程以問途者。曰淳蓄疑既久，今年春與果臣連榻鄂城，複一商榷，別後數月乃通之。怡然渙然，了無滯凝，亦窮愁中一快事也。因衍方程術為數學拾遺補，求負數法及加減率求答數法，附述求一術為藝遊錄補。以中小較求大數法，及大中較、大小較互求得中數、小數法，引伸鉤索，溫故知新，庶足以大暢厥旨乎！易翁、母、雛為大、中、小，設數不必以百，而統以百雞命之者，識斯術所自昉也。」

　　李銳，字尚之，元和諸生。幼開敏，有過人之資。從書塾中檢得算法統宗，心通其義，遂為九章、八線之學。因受經于錢大昕，得中、西異同之奧，于古曆尤深。自三統以迄授時，悉能洞澈本原。

　　嘗謂：「三統，世經稱殷術，以元帝初元二年為紀首，是年歲在甲戌。推而上之，一千五百二十歲而歲值甲寅為元首，又上四千五百六十年而歲複甲寅為上元。以此積年，用四分上推，太初元年得至朔同日，而中餘四分日之三，朔餘九百四十分之七百五，故太初術虧四分日之三，去小餘七百五分也。《漢書》載三統而不著太初，其實一月之日，二十九日八十一分日之四十三，是日法、月法與三統同。賈逵稱太初術鬥二十六度三百八十五分，是統法周天又與三統同。蓋四分無異于太初，而太初亦得謂之三統。鄭注召誥，周公居攝五年二月三月，當為一月二月，不雲正月者，蓋待治定制禮，乃正言正月故也。江徵君聲、王光祿鳴盛以為據洛誥十二月戊辰逆推之，其說未核。今案鄭君精于步算，此破二月三月為一月二月，以緯候入蔀數，推知上推下驗，一一符合，不僅檢勘一二年間事也。」

　　因據詩大明疏，鄭注尚書文王受命，武王伐紂時日皆用殷曆甲寅元，遂從文王得赤雀受命年起，以乾鑿度所載之積年推算，是年入戊午蔀，二十九年歲在戊午，與劉歆所說殷曆周公六年始入戊午蔀不同。歆謂文王受命九年而崩，崩後四年武王克殷，後七年而崩，明年周公攝政元年，較鄭少一年。又載召誥、洛誥俱攝政七年事，其年二月乙亥朔，三月甲辰朔，十二月戊辰朔，並與鄭不合。乃以推算各年及一月二月，排比干支，分次上下，著召誥日名考，此融會古曆以發明經術者也。

　　當是時，大昕為當代通儒第一，生平未嘗親許人，獨於銳則以為勝己。大昕嘗以太乙統宗寶鑒求積年術日法一萬五百歲，實三百八十三萬五千四十八分二十五秒為疑。銳據宋同州王湜易學，謂每年於三百六十五日二千四百四十分之外，有終於五分者，有終於六分者，有終於五六分之間者。終於五分者，五代王樸欽天曆是也，以七千二百為日法。終於六分者，近年萬分曆是也，以一萬分為日法。終於五六分之間者，景祐曆法載於太乙遁甲中是也，以一萬五百分為日法，此暗用授時法也。試以日法為一率，歲實為二率，授時日法一萬為三率，推四率，得三百六十五萬二千四百二十五分，即授時之歲實也。探本窮源，一言破的。

　　近世曆算之學，首推吳江王氏錫闡、宣城梅氏文鼎，嗣則休甯戴氏震亦號名家。王氏謂土盤曆元在唐武德年間，非開皇己未；梅氏謂回回曆實用洪武甲子為元，而讬之於開皇己未。其算宮分，雖以開皇己未為元，其查立成之根，則在己未元後二十四年，二說並同。

　　戴氏謂回回曆百二十八年閏三十一日，是每歲三百六十五日之外，又餘百二十八分日之三十一也。以萬萬乘三十一，滿百二十八而一，得二千四百二十一萬八千七百五十，地穀所定歲實三百六十五日二十三刻三分四十五秒，通分內子以萬萬乘之，滿日法而一，亦得二千四百二十一萬八千七百五十，與梅氏疑問所雲合。是三家所論，未嘗不確知灼見，然均未得其詳。銳據明史曆志、回回本術，參以近年瞻禮單，精加考核，謂回回曆有太陽年，彼中謂為宮分；有太陰年，彼中謂為月分。宮分有宮分之元，則開皇己未是也；月分有月分之元，則唐武德壬午是也。自開皇己未至洪武甲子，積宮分年七百八十六，自武德壬午至洪武甲子，積月分年亦七百八十六，其惑人者即此兩積年相等耳，因著回回曆元考。有求宮分白羊一日入月分截元後積年月日法，以為不明乎此，雖有立成，不能入算也。稿佚未刊。

　　梅氏未見古九章，其所著方程論，率皆以臆創補，然又囿于西學，致悖直除之旨。銳尋究古義，探索本根，變通簡捷，以舊術列於前，別立新術附於後，著方程新術草，以期古法共明於世。古無天元一術，其始見於元李冶測圓海鏡、益古演段二書，元郭守敬用之，以造授時曆草，而明學士顧應祥不解其旨，妄刪細草，遂致是法失傳。自梅文穆悟其即西法之借根方，於是李書乃得鄭重於世。其有原術不通，別設新術數則，更于梅說外辨得天元之相消，有減無加，與借根方之兩邊加減法少有不同。

　　且不滿顧氏所著之句股、弧矢兩算術，謂：「弧矢肇于九章方田，北宋沈括以兩矢冪求弧背，元李冶用三乘方取矢度，引伸觸類，厥法綦詳。顧氏如積未明，開方徒衍，不亦傎乎？」爰取弧矢十三術，入以天元，著弧矢算術細草。並仿演段例，括句股和較六十餘術，著句股算術細草，以導習天元者之先路。

　　又從同裡顧千里處得秦九韶數學九章，見其亦有天元一之名，而其術則置奇於右上，定於右下，立天元一于左上。先以右上除右下，所得商數與左上相生，入于左下。依次上下相生，至右上末後奇一而止，乃驗左上所得以為乘率。與李書立天元一於太極上，如積求之，得寄左數與同數相消之法不同。因知秦書乃大衍求一中之又一天元，秦與李雖同時，而宋元則南北隔絕，兩家之術，無緣流通，蓋各有所授也。

　　銳嘗謂：「四時成歲，首載虞書，五紀明曆，見於洪範。曆學誠致治之要，為政之本。乃通典、通考置而不錄，邢雲路雖撰古今律曆考，然徒援經史，以侈卷帙之多。梅氏祗有欲撰曆法通考之議，卒未成書。因更網羅諸史，由黃帝、顓頊、夏、殷、周、魯六曆，下逮元、明數十餘家，一一闡明義蘊，存者表而章之，缺者考而訂之，著為司天通志，俾讀史者啟其扃，治曆者益其智。」惜僅成四分、三統、乾象、奉天、占天五術注而已。余與開方說皆屬稿未全。

　　開方說三卷，銳讀秦氏書，見其于超步、退商、正負、加減、借一為隅諸法，頗得古九章少廣之遺，較梅氏少廣拾遺之無方廉者，不可以道裡計。蓋梅氏本于同文算指、西鏡錄二書，究出自西法，初不知立方以上無不帶從之方。銳因秦法推廣詳明，以著其說。甫及上、中二卷而卒，年四十有五。其下卷則弟子黎應南續成之。

　　應南，字見山，號鬥一，廣東順德人。嘉慶戊寅順天經魁，以書館議敘，選浙江麗水縣知縣，調平陽縣知縣。海疆俸滿，加六品銜，卒於官。

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