梁羽生數學與邏輯

數學與邏輯

　　數學是一門很重要的科學，又是很有趣的科學。數學在科學領域裏，稱為「純科學」，意思是「純理論」的科學。可是一切技術科學，都要以數學為基礎。數學不行的學生，其他的自然科學也一定不行。甚至某些社會科學，到深入研究時，也需要良好的數學作基礎。如經濟學就是一個例子，所以有人說：哲學是一切社會科學之母，而數學則是一切自然科學之母。

　　許多人可能有這樣一種錯覺，以為數學是枯燥無味的科學，其實不然。例如把數學應用到邏輯（一種推理的科學）上，就常會得到一些很有趣味的論斷。

　　平時人對一件肯定的事情常說：「一是一，二是二。」好像這是天經地義的事情。可是運用數學上的巧妙把戲，卻可以證明一等於二，或一等於任何數。你若不信，請看下面的算式：

　　設：A＝B
　　則：A2＝AB＝B2
　　故：A2－B2＝AB－B2
　　分解因式：（A＋B）（A－B）＝B（A－B）
　　以（A－B）除兩邊得：A＋B＝B
　　即：2B＝B
　　故：2＝1

　　在這個算式裏，只應用了一個最基本的公式，初中學生都學過的公式，即「兩數平方之差等於兩數之和乘兩數之差」。可是卻得出一等於二的結論來。它的秘密在哪裏呢？秘密就在A－B＝0這一點上。任何數乘零都等於零的。所以用A－B去除兩邊，得出的答案就謬誤了。①

　　在中國戰國時代，有一個非常出名的善於詭辯的人，叫做公孫龍子，他有許多詭辯的命題，其實就是應用數學上的方法作為邏輯，迷惑一般人的觀念。

　　他有一個論題是「一尺之棰，日取其半，萬世不竭」。一尺長的木棒，每天取一半，永遠都分不完。初看令人驚異，其實卻是真的，二等分一條線，繼續無窮次都是分不完的，分到最後是「無限小」，但「無限小」仍然是一個數目啊！②

　　公孫龍子另一個論題，那就更詭辯了，這論題是「飛矢不動」。因為若把空間和時間都分割為無限小的點，則飛矢每一瞬間都占著空間的特定位置，因而亦即靜止在這一位置上。這個論題和上面「一尺之棰」的論題，都是應用數學上「無限小」的觀念，但上面的論題講得通，這個論題，事實卻是講不通的。因為在每一個無限小的時間裏，飛矢仍是運動的。③

　　應用數學到邏輯學上，常會造成形式邏輯，即忽視了內部質的發展，而只注意了表面的現象。可是形式邏輯仍是不可廢的，也並不是每個形式邏輯都是錯誤的。例如：A大於B，B大於C，則A一定大於C，這就符合真理。辯證邏輯也是從形式邏輯發展而來的。所以又有人稱形式邏輯為低級邏輯，而稱辯證邏輯為高級邏輯。

　　中國古代也有許多傑出的數學家，例如我以前在《隨筆》裏所舉過的祖沖之就是一個例子，他對圓周率的推算，要比西洋數學家早一千年。又如開平方和開立方的問題，也早在中國古代的《九章算術》④中就提出來了。祖沖之根據《九章算術》的算法，早在一千五百多年前，就能求得一般的二次方程式和三次方程式的正根。又如直角三角形中，斜邊的平方等於其他兩邊平方之和，也是中國的數學家最早推算出來的。不過中國的封建社會特別長，由於生產的發展的遲緩，而影響了一般科學的不能迅速發展，在數學上也就落後于國際水平。但近代我國的數學界，仍有非常傑出的人才，例如自學成功的華羅庚教授，他對「堆壘素數」的研究，就是在全世界坐第一把交椅的。這兩年來，我國提出「向科學大進軍」的號召，某些主要科學部門，要在十二年內趕上國際水平，數學的發展當然也是可以預期的了。

　　①連載：（零是一個很有趣的數字，零除零等於「不定數」，零除任何數等於無限大！）
　　②連載：這和歐洲古代著名的論題「阿基列與烏龜」如出一轍。阿基列是跑得最快的人（典出希臘神話），但根據數學的推論，他的捷步卻永遠不能追過烏龜的爬行。假設阿基列落後於烏龜一百步而比龜快十倍，當阿基列走十步，龜只前進一步，阿基列每走一步，龜只走十分之一步；如此永無終結，永遠追不上。
　　③連載：而且飛矢本身並不是「無限小」的東西，它不可能整體的停留在「無限小」的空間據點上。
　　④連載：《算書》《九章算數少廣章》

　　〔1957.01.17〕

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