清史稿·疇人傳一(3)

疇人傳一(3)

　　明安圖，字靜庵，蒙古正白旗人。官欽天監監正。受數學于聖祖，預修禦定曆象考成後編、禦定儀象考成。因西士杜德美用連比例演周徑密率及求正弦、正矢之法，知其理深奧，索解未易，因積思三十餘年，著割圜密率捷法四卷。一曰步法，于杜氏三法外，補創弧背求通弦、求矢法，仍杜氏原法，但通加一四除耳。又弦、矢求弧背，並通弦、矢求弧背，凡六法，合杜氏共成九法。其弦求弧背法，以弦為連比例二率，半徑為一率，求得二、四、六、八、十諸率，以一、三、五、七、九之五數各自乘，為累次乘數。二、三、四、五、六、七、八、九相挨，兩兩相乘，為累次除數，即用二率為第一得數。複置四率，以第一乘數乘之，第一除數除之，為第二得數。又置六率，以第一、第二乘數乘之，第一、第二除數除之，為第三得數。又置八率，以第一、第二、第三乘數乘之，第一、第二、第三除數除之，為第四得數。如是累求，至所得數祗一位止，乃並之，即所求之弧背也。矢求弧背法，倍正矢為連比例三率，亦以半徑為一率，求得五、七、九、十一諸率。以一、二、三、四、五之五數各自乘，為屢次乘數，三、四、五、六、七、八、九、十相挨，兩兩相乘，為屢次除數，即用三率為第一得數。複置五率，以第一乘數乘之，第一除數除之，為第二得數。又置七率，以第一、第二乘數乘之，第一、第二除數除之，為第三得數。又置九率，以第一、第二、第三乘數乘之，第一、第二、第三除數除之，為第四得數。如是累求，至所得數祗一位而止。開平方，即所求之弧背也，通弦求弧背，亦各加一四除。矢求弧背，則三率又多加一四。因更創餘弧求弦矢，余弦矢求本弧，及借弧與正、余弦互求四術。二曰用法，以角度求八線，及直線、弧線、三角形邊角相求，共設七題。謂今法所以密于古者，以用三角形也。然三角形非用八線表不能相求，惟用此法，以之立表則甚易，以之推三角形，則不用表而得數同。三、四兩卷曰法解，皆闡明弦、矢與弧背相求之根。其法先以一分弧通弦求二分弧通弧弦之數，次以一分、二分弧通弦求三分、四分全弧通弦之數，以一分三分弧通弦求五分全弧通弦之數。又因二分、五分相乘得十分，十分自乘得百分，十分、百分相乘得千分，十分、千分相乘得萬分。遂以半徑為一率，一分弧通弦為二率，各如相乘之率數，求得十、百、千、萬諸分弧率數。比例得弧背求通弦，應減四率二十四分之一，加六率八十分之一，減八率一百六十八分之一，加十率二百八十八分之一，減十二率四百四十分之一，加十四率六百二十四分之一，減十六率八百四十分之一。各四歸之，則二十四得六，為二三相乘數；八十得二十，為四五相乘數；一百六十八得四十二，為六七相乘數；二百八十八得七十二，為八九相乘數；四百四十得一百一十，為十與十一相乘數；六百二十四得一百五十六，為十二與十三相乘數；八百四十得二百一十，為十四與十五相乘數。故以二、三、四、五、六、七、八、九等數兩兩相乘，為屢次除數。又以通弦求得二率一分多，四率一分，六率九分，八率二百二十五分，十率一萬一千二十五分，十二率八十九萬三千二十五分，十四率一億八百五萬六千二十五分，得後率分數為實。各遞降二等，使二率降為四率，四率降為六率，得前率分數為法。以法除實，得四率一分，為一自乘數；六率九分，為三自乘數；八率二十五分，為五自乘數；十率四十九分，為七自乘數；十二率八十一分，為九自乘數；十四率一百二十一分，為十一自乘數；十六率一百六十九分，為十三自乘數：故以一、三、五、七、九等數各自乘為屢次乘數。次求通弦法，求得十、百、千、萬諸分弧正矢率數，比例得弧背求正矢，應減五率十二分之一，加七率三十分之一，減九率五十六分之一，加十一率九十分之一，減十三率一百三十二分之一，加十五率一百八十二分之一，減十七率二百四十分之一；而十二為三四相乘數，三十為五六相乘數，五十六為七八相乘數，九十為九與十相乘數，一百三十二為十一與十二相乘數，一百八十二為十三與十四相乘數，二百四十為十五與十六相乘數，故以三、四、五、六、七、八、九等數兩兩相乘，為屢次除數。又以正矢求得五率一分多，七率四分，九率三十六分，十一率五百七十六分，十三率一萬四千四百分，十五率五十一萬八千四百分，十七率二千五百四十萬一千六百分，為後率分數，各遞降二等為前率分數。如前通弦法，除得五率一分為一自乘數，七率四分為二自乘數，九率九分為三自乘數，十一率十六分為四自乘數，十三率二十五分為五自乘數，十五率三十六分為六自乘數，十七率四十九為七自乘數，故以一、二、三、四、五等數各自乘，為屢次乘數。書未成而卒，子新續之。

　　新，字景臻，安圖季子。充食俸生。安圖病且革，以所著捷法授之，新遵父命，與門下士陳際新、張肱共續成之。

　　陳際新，字舜五，宛平諸生。官靈台郎，為監正。續明安圖割圜密率捷法，尋緒推究，質以生前面授之言。至乾隆甲午，始克成書。

　　劉湘煃，字允恭，江夏人。聞梅文鼎以曆算名當世，鬻產走千余裡，受業其門，湛思積悟，多所創獲。文鼎得之甚喜，曰：「劉生好學精進，啟予不逮！」其與人書曰：「金、水二星，曆指所說未徹，得劉生說，而後二星之有歲輪，其理確不可易。」因以所著曆學疑問囑之討論，湘煃為著訂補三卷。又謂曆法自漢、唐以來，五星最疏，故其遲、留、伏、逆皆入於占，至元郭守敬出，而五星始有推步經度之法，而緯則猶未備。西法舊亦未有緯度，至地穀而後有五星緯度，已在守敬後矣。曆書有法原、法數，並為曆法統宗。法原者，七政與交食之曆指也；法數者，七政與交食經緯之表也，故曆指實為造表之根本。今曆所載金、水，曆指如其法以造表，則與所步之表不合，如其表以推算測天，則又密合，是曆雖有表數，而猶未知立表之根也。」乃作五星法象五卷，文鼎深契其說，摘其要目為五星紀要。

　　湘煃又欲為渾蓋通憲天盤安星之用，以戊辰曆元加歲差，用弧三角法，作恒星經緯表根一卷，及月離交均表根、黃白距度表根各一卷，皆補新法所未及也。所著又有論日、月食算稿各一卷，各省北極出地圖說一卷，答全椒吳荀淑曆算十問書一卷。

　　王元啟，字宋賢，號惺齋，嘉興人。乾隆辛未進士，授將樂縣知縣。究心律曆句股之學，著書已刻者為惺齋雜著。內有史記、漢書正訛兩種，其正史記之訛者，為律書、曆書、天官書各一卷；正漢書之訛者，為律曆志上下二卷。未刻者為曆法記疑、句股衍、角度衍、九章雜論。而句股衍一書，因繁求簡，最為精晰。分甲、乙、丙三集，甲集術原三卷，乙集綱要二卷，丙集晰義四卷。甲集首卷通論術原，為句股因積求邊張本。二卷專論立方，因及平方法。三卷專論和數開立方，所以盡立方諸數之變。乙集兩卷，為相求法百二十三則之綱要。丙集四卷，即相求法，逐則分晰其義，專取發明立法之意。

　　其總序曰：「句股弦相求法，參以和較，凡得七十八則，求句股中函數。又有冪積求容員、容方、容縱方，及依弦作底求容方，與句股求外方、外員之數。又有積數與句股和較相求容方，與句股餘數相求之法。綜而計之，凡得二十九則。立表測量，得求高、求遠、求深三則，重表亦然。舊算書多簡略，詳者又苦錯出無緒。間嘗力為區別，使各以類從，先定相求法百十三則。甲申仲秋，複理前緒，逐一布算，捷於舊法，而舊法仍附見，以資參考。至以中函積與弦之所和、所較相求而得句、股、弦之正數，舊法罕見，今亦竊擬一法，以附於後。又別創截弦分兩，及補句求股、補股求句之法，分為六則，使不成句股之形，亦化為句股。並載不成句股求中函積二則，容方、容員四則，外切員徑一則，員內累求句股六則，凡又一十九則。以該西術三角之算，兼備割員之用。使學者知周髀一經，於術無所不該。後人不能觸類旁通，以盡其變，故使西術得出而爭勝，其實西術亦出周髀，不能出折句為股之外也。」

　　又略例引言曰：「算家句股一門，為術最繁，非鑿指一數以為布算之准，難以虛領其義。然如廣三修四見於經者，特其正例，正例外變例尤多。必欲正變兼呈，則一卷中彼此錯出，使閱者耳目數易，轉增煩憒。茲特標舉略例，並不成句股之形亦附見焉，以盡句股之變，而該三角之法。」

　　又答友問句股書曰：「欲求句股，先學開方，方有正方、縱方之異。縱方則以修廣之和、較數開之，其次則求四率比例，有三率求四率之法，有二率求三率之法，又有一率求三率之法。知此即可以知求句、股、弦各無零數法。以三率之中率為主，倍中率為股，首末二率相減為句，相加為弦。依此衍之，得句股略例十數則，然後以句、股、弦為正數，兩數相加為和，相減為較。又有句股三數相加減之和較數，弦與和，和絃與較和三數相加之和數也；弦與較，較弦與和較三數相減之較數也。三數相加減，今名之為兼三和較。凡正數和較之數各三，兼三和較各二，共十三數。十三數中，隨舉兩數，即可求句股弦全數。凡得相求法九十四則，而容方、容員、截股分兩、立表測量單表、重表之法，猶不與焉。其次則求截弦分兩之法，是為一句股分兩句股，即可以知不成句股亦可以分兩句股。不成句股分兩句股，即西法三角算之所由名，今則總以句股概之。其法取大小兩句股形，小股與大句同數者合為一形，即為不成句股之形。分之為兩，則所謂中垂線者，即小矩之股，大矩之句。以此衍之，又得不成句股略例二十餘則。依類推之，又得合形分兩、削形求全二法。合形分兩，則有正合形截偶分兩、反合形截中分兩、偏合形截邊分兩之法。削形求全，則有削去正矩、偏矩之殊，偏矩中又有淺削、深削之分。知此則句股之學盡矣。」元啟嘗曰：「我無他長，惟好學深思，心知其意而已。」然其句股術一書，幾欲駕梅文鼎而上之，為算術中不可少之書雲。

　　朱鴻，字雲陸，秀水人。嘉慶七年進士，改翰林院庶吉士，散館授編修。擢禦史，曆給事中，出官督理湖南糧儲道。研精算學。同郡錢儀吉譔三國會要，集乾象、景初二術成，嘗為作注。烏程陳傑時為台官博士，陽湖董祐誠亦客京邸，皆日從講數，各出所得相質問。舊無橢圓求周術，為祐誠言，圜柱斜剖，則成橢員，可以句股形求之。祐誠既發明其說，系以圖釋。初得杜德美割圜九術寫本，以示祐誠，創圖解三卷。既成，複得密率捷法于李潢家，則蒙古監正明安圖師弟續繹之書也，與傳寫本互異。鴻曾依杜法步算，徑一者，週三一四一五九二六五三五八九七九三二三八四六二六四三一八六三六七四七二二七九五一四，周十者，徑三一八三零九八八六一八三七九零六七一五三七七六七五四六六九六三八九零五六六六一。徐有玉采入務民義齋算學中。道光十年後，辭官仍居京師，譔考工記車制參解。又評程氏易疇考工創物小記，多所糾正雲。

　　博啟，字繪亭，滿洲正白旗人。乾隆中，官欽天監監副。嘗因句股和較之術，前人論之極詳，獨句股形中所容之方邊、員徑、垂線三事，尚缺而未備。爰以三事分配和較，創法六十。惜其書未刊，法不傳。今所傳者，惟有方邊及垂線求句、股、弦一題。法用平行線剖容方冪為四小句股形，借垂線為小句股和，借方邊為小弦，求小句小股。以小股與垂線比，若方邊與句比；以小句與垂線比，若方邊與弦比。道光初，方履亨官監正，每舉此題課士。其後得甘泉羅士琳力為表章，博術乃複明於世。

　　羅論雲：「曩者聞方慎菴監正言繪亭監副有是法，失傳。因仿監副遺法，用平行線剖半員冪為四小句股形，以半圓徑減垂線餘，借為小句股和，借半員為小弦，求得小句、小股。以小股比垂線，若半員徑比股；以小股比股，若半員徑比弦。又以半員徑減方邊，得較。用平行線剖較冪為四小句股形，借半員徑為小句股和，借較為小弦，求得小句、小股。以小股比半員徑，若方邊比句；以小句比半員徑，若方邊比股，以小股比股，若較比弦。用補副監之遺。複用天元術演得三事和較六十題，更立天、地兩元為廣例二十五術，撰句股容三事拾遺四卷。更試變通其術，禦以八線，取方邊用方斜率，得容方中之斜線。以垂線為一率，半徑為二率，斜線為三率，求得四率為正割。檢八線表得度用，與四十五度相加減，得垂線所分之大小兩弧，副以半徑為一率，垂線為二率，小弧正割為三率，求得四率為句。如以大弧正割為三率，求得四率為股，又如以大小兩弧之兩正切為三率，求得四率，為大小兩弧之兩分弦，相並得弦餘。二題仿此，其得數同，而尾數有奇零。以八線表所列之數至單位止，單位以下，棄其餘分，故不能如句股與天元所得之密合。或有妄詆天元術不能馭三角和較者，抑知天元創于宋、明之間，安能逆知西法之有三角而豫為立法？要在學者善為會通耳。試設平三角形，有一角而角在兩邊之中，有大邊與對邊和，有小邊與對邊和，求三道及垂線，此西人常法所不能禦者。若立天元一術，則任求何邊或和數或較數，皆一平方即得。然則天元之與西法，其優劣可見矣。」

　　許如蘭，字芳谷，全椒人。乾隆三十年舉人，大挑知縣，分發福建。因親老改江西，歷任浮梁、新建等縣事。丁憂服闋，赴福建，題補侯官，未履任，會瘴氣發，病卒。

　　如蘭性敏，所讀書皆究心精妙，於曆算始習西法，通薛鳳祚所譯天步真原、天學會通。時同縣山西寧武同知吳烺受梅文鼎學于劉湘煃，如蘭因並習梅氏曆算。又于乾隆四十年夏，謁戴震於京都，受句股割圜記。四十四年，謁董化星於常州。戴傳緝古算經十書，而董則專業薛氏者也。由是兼通中、西之學。

　　嘗謂其弟子胡早春曰：「古人以句股方程列于小學，童而習之，人人能曉，今則老宿不能通其義。一則時尚帖括，視句股為不急之務；再則習為風雅，不屑持籌握算，效疇人子弟所為。噫，過矣！」又謂：「士大夫不精弧矢之術，雖識天文，無益也。疇人算工不明象數之理，雖能步算，無益也。」著有乾象拾遺、春暉樓集諸書，今多散佚。

　　其存者，有書梅氏月建非專言斗柄論後，略曰：「天氣渾淪，無可識認，古人不得已，即以恒星為天以識日躔。恒星積久而差，冬至日躔不在原宿，始立歲差之法。古謂恒星不動，而黃道西移。今測普天星座皆動，其經緯之度，不隨赤道運轉，而順黃道東移。故謂黃道不動，而恒星東行，與七政同一法。」又謂：「古人以中數為歲，朔數為年。上古氣朔同日，故月建起於節氣，而不起於中氣；日躔過宮，起於中氣，而不起於節氣。起於節氣，故曰冬至子之半；起於中氣，故曰冬至日躔星紀之次也。然則一歲十二建，乃天道經歷十二辰，故謂之月建，此萬古不易者也。斗柄所指分位不真，且恒星東移，積久有差，辨之誠是也。但古人雲：『鬥為帝車，斟酌元氣而布之四方』。又曰：『招搖柬指。』不過言天道無跡。可見順時布化，斗柄有象可徵耳。拘泥其詞，則惑矣。」其歲差說略曰：「恒星一年東行五十餘秒，又黃、赤二道斜交，並非平行，于左旋至速之中，微斜牽向右。日之于天，猶經緯之於日也。日行至黃道分至節氣之限，則春秋寒暑皆隨之而應。七政躔于各宮，遇各宮燥濕寒溫風雨，則隨恒星之性而應。然則冬、夏二至，乃黃道上子、午之位也。春、秋二分，乃黃道上卯、酉之位也。惟唐、虞時冬至日躔虛中，恒星之子中，正逢黃道之子中。嗣是漸差，而東周在女，漢在鬥，今在箕。黃道之子，非恒星之子也。以醜宮初度為冬至者，因周時冬至恒星已差至醜，周人即以恒星為黃道之十二次，故命醜為星紀，言諸星以此紀也。其實醜乃周時恒星之宿度，並非恒星之子中。今並不在醜，又移至寅十餘度矣。由今箕一以上溯古虛五，歷年四千有餘，已差至五十八度，此恒星東行之明驗也。」其他著論無關曆算者不錄。

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