金庸圓周率的推算

圓周率的推算

　　梁羽生兄在《數學與邏輯》一文中，曾談到祖沖之的圓周率，說是全世界最早的精密。這在數學史上是一個有趣的問題。

　　圓周與直徑的比例怎樣，這在實用上是常遇到的，我國最早的數學書是《周髀算經》，其中稱「週三徑一」，即周率是三。據傳說，這是周初的商高計算出來的。如果傳說不錯，那麼這是公元前十二世紀的事了。

　　希臘人說，周率的應用是始於公元前三世紀的大物理學家阿基米德，那就是那位因洗澡而發現阿基米德定律的人。希臘人稱圓周率為「阿基米德值」。

　　我國著名橋樑專家、設計建造錢塘江大橋的茅以升先生在《圓周率略史》中說：「西洋數學史多以為此率源於印度，而聲息相通之阿拉伯亦認為印度所產。」

　　到底，粗疏的圓周率是哪一民族的人最先發現的？我想，三與一之比的周率，隨便用尺與繩子一量就量得出來。在實用上需用的時候，許多民族都會一量而依照這比率計算。所以，到底誰最早發現，那是很難說的。至於精密的計算，則是較後的事。

　　我們說祖沖之最先計算出精密的圓周率，是根據《隋書·律曆志》中的記載。那上面說：「古之九數，圓周率三，圓徑率一，其術疏舛。自劉歆、張衡、劉徽、王蕃、皮延宗之徒，各設新率，未臻折衷。宋末，南徐州從事史祖沖之更開密法，以圓徑一億為一丈，圓周盈數三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽，朒數三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽，正數在盈朒二限之間。密率，圓徑一百一十三，圓周三百五十五。約率，圓徑七，週二十二。又設開差冪，開差立，兼以正圓參之。指要精密，算氏之最者也。所著之書，名為《綴術》，學官莫能究其深奧，是故廢而不理。」

　　這一段話稍加說明，就極易清楚：

　　我國歷史上首先用數學方法推算圓周率的，是漢代的大學者劉歆（公元二三年為王莽所殺），他的圓周率是3.1547。張衡（公元七八年——公元一三九年）是我國著名的天文學家，他的周率是√10。劉徽（公元二六三年前後時人），他用割圓術來推算，即圓內畫一六邊形，逐漸增加邊數，這多邊形與圓會越來越接近，計算多邊形的邊，算到九十六邊形時，周率定為3.14。王蕃（公元二一九——公元二五七年）是14245＝3.155，皮延宗（公元四四五年前後時人）的周率考查不出來。據李儼的《中國算學史》中說，在祖沖之之前，還有一位何承天（公元三七〇——四四七年），周率為22/7，即3.1428。這些周率都不精密。

　　祖沖之（公元四二九——五〇〇年）是南北朝的劉宋時人，他算出的周率據《隋書》中說，是小於3.1415927而大於3.1415926，可定為3.14159265，精密地說，是355/113，約略地說，是22/7。西歐人算得這樣精密的，是在一千多年以後（公元一五七三年）的德國奧托（Valentinus Otto），但他也只算到小數點後的六位。

　　祖沖之的兒子祖恒之，也是一位大數學家，他發現了計算圓球體面積與體積的公式。因為他們的推理方法在那時是太精妙了，管理文化教育事宜的官吏根本不懂，於是「廢而不理」。

　　在各文化古國中，我國的數學是不算十分發達的。我國數學一直限制於實用，與實用無關的比較抽象的推理幾乎都不去接觸。最突出的貢獻，恐怕是這圓周率了。我在初中讀書時，教我數學的是章克標先生。他因寫小說而出名，為人很是滑稽，同學們經常和他玩鬧而不大聽他講書。他曾寫過一部《數學的故事》，其中說到有一個歐洲青年花了極長的時間，把圓周率推算到小數點後六百多位。這個圓周率，當然是毫無實用價值的。

　　在寫《書劍恩仇錄》時，為了要多知道一些陳家洛的身世，我曾翻過一些關於他祖宗海甯陳氏的記載，發現有一位與他父親陳世倌同輩的陳世仁（公元一六七六——一七二二年）。這位先生是康熙時翰林，竟是一位數學大家，著有《少廣補遺》一卷，對於「級數」頗有研究，發現了許多據說是前人從來沒有談過的公式。書中一直研究到奇數偶數平方立方的級數和等問題。

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