新元史·曆志·治曆本末(2)

曆志·治曆本末(2)

　　大德三年八月朔，時加巳依新曆日食二分有奇，至其時不應，台官皆懼。保章正齊履謙曰：「日當食不食，古有之。況時近午，陽盛陰微，宜當食不食。」遂考唐開元以來當食不食者凡十事以聞。六年六月朔，時加戌依新曆日食五十七秒，眾以涉交既淺，且近濁，欲匿不報。履謙曰：「吾所掌者常數也。其食與否，則系於天。」獨以狀聞。及其時，果食。蓋高遠難窮之事，必積時累驗，乃見端倪。《授時曆》推日食之法，較前之十三家最密矣，然尚不能無數刻之差。故元之一代，日食四十有五，推食而不食者一，食而失推者一，夜食而誤晝者一。履謙謂：食與否系於天，足猶泥前人當食不食，不當食而食之謬說，誣莫甚矣。

　　泰定間，履謙為太史院使，以《授時曆》行五十年未嘗推考，乃日測晷景並晨昏五星宿度，自至治三年冬至、泰定二年夏至天道加時真數，各減見行曆書二刻，撰《二至晷景考》二卷。《授時》雖有經串，而經以著定法，串以紀成數；求共法之所以然，數之所從出，則略而不詳；作《經串演說》八卷，以發明其蘊焉。

　　時鄱陽人趙友欽推演《授時》之理，著《革象新書》五卷，號為新曆之學。

　　其《曆法改革篇》曰：「曆法由古及今，六十餘術矣。漢太初粗為可取，然猶疏略未密。唐一行作大衍術，當時以為密矣，以今觀之，猶自甚疏。蓋歲淺則差少未覺，久而積差漸多，不容不改，要當隨時測驗，以求真數。

　　其《日道歲差篇》曰：「統天術謂周天赤道三百六十五度二十五分七十五秒，周歲三百六十五日二十四分二十五秒，百年差一度半，然又謂周歲漸漸不同，上古歲策多，後世歲策少，如此則上古歲差少，後世歲差多。當今術法謜之，立減加歲策之法，上考往古，百年加一秒，下驗將來，百年減一秒。」

　　其《黃道損益篇》曰：「二至之日，黃道平其度，斂狹每度約得十之九二分，斜行赤道之交。今之授時術步得冬至日躔箕宿。以此知寅申度數最少，己亥度數最多，其餘則多寡稍近。

　　其《積年日法篇》曰：「前代造術者，逆求往古門上元，求其積年總會，是以必立日法。然有所謂截元術，但將推步定數為順算逆考，不求其齊。當今授時術采舊術截元之術，凡積年日法皆所不取。

　　其《日月盈縮筒》曰：「月行十三度餘十九之七，然或先期，或後期，有差至四五度者，後漢劉洪始考究之，知月有盈縮。隋之劉焯始覺太陽亦有盈縮，最多之時在於春秋二分，均差兩度有餘。李淳風有推步月孛法，謂六十二日行七度，六十二年七周天。所謂孛者，乃彗星之一種光芒，偏槊者則謂之彗，光芒四出如渾圓者乃謂之孛。然孛以月為名者，孛之所在，太陰所行最遲，太陰在孛星對沖處則所行最疾。孛星不常見，止以太陰所行最遲處測之。

　　其《月有九道篇》曰：「月行出入黃道之內外，遠于黃道處六度二分。月道與黃道相交處在二交之始，名曰羅喉，交之中，名曰計都。自交初至於交中，月在黃道外，名曰陽限。自交中至於交出，月在黃道內，名曰陰限。所謂九行者，當以畫圖比之。四圖各兩黃道，似一圓環，俱于環南定為夏至。環北定為冬至，環西定為春分，環東定為秋分。將一圖畫為青追，與黃道交于南北，南交為羅，北交為計。其青道二邊入在黃道西之東，是內青道；一邊出在黃道東之東，是外青道。又將一圖畫白道，亦與黃道交于南北，南交為計，北交為羅。其白道一邊入在黃道東之西，是內白道；一邊出在黃道西之西，是外白道。又將一圖畫朱道，與黃道交於東西，東交為計，西交為羅。其朱道一邊入黃道之南，是內朱道，一邊出在黃道南之南，是外朱道。又將一圖畫黑道，亦與黃道交於東西，東交為羅，西交為計。其黑道一邊入在黃道南之北，是內黑道；一邊出在黃道北之北，是外黑道。此雖畫四圖，然四圖之八道止是一道也。本八道而曰九行者，以北道之行，交于黃道，故道以九言也。八道常變易，不可置於渾儀上，亦不得畫於星圖。所可具者黃、赤二道耳。欲別于黃，故塗以赤。赤道近八道皆相交遠近。朱道止十八度遠，黑道至三十度遠，青白二道約二十四度遠。」

　　其《地域遠近篇》曰：「古者立八尺之表，以驗四時日景。地中夏至，景在表北一尺六寸，冬至，景在表北一丈三尺。南至交廣，北至鐵勒等處驗之，俱各不同。表高八尺，似失之短。至元以來，表長四丈，誠萬古之定法也。所謂土圭者，自古有之。然地上天多早晚，太陽與人相近，則景移必疾；日午與人相遠，則景移必遲。世間土圭均畫而已，豈免午侵己未，而早晚時刻俱差。地中差已如是，若以八方偏地驗之，土圭之不可准尤為顯。然偏東者，早景疾，而晚景遲，午景先至；偏西者，早景遲，而晚景疾，午景後期；偏北者，少其畫，而景遲；偏南者，多其畫，而景疾。若南越短，景南指，而子午反復，則又訛逆甚矣。」其《日月薄食篇》曰：「日之圓，體大，月之圓，體小。日道之周圍亦大，月道之周圍亦小。日道距天較近，月道距天較遠。日月之體與所行之道，雖有少廣之差，然月與人相近，日與人相遠。故月體因近視而可比日道之廣，日食、月食當以天度經緯而推。同經不同緯，止曰合朔。同經同緯合朔，而有食矣。人望日體，見為月之黑體所障，故雲日食。然日體未嘗有損，所謂食者，強名而已。日月對躔，而望若不當二交前後，則不食。望在二交前後，則必食。或既或不既，當以距交遠近而推。日月之圓徑相倍。日徑一度，月徑止得日徑之半，然在於近視，亦准一度。是猶省秤出於複秤，斤兩雖同，其實則有輕重之異。日之圓徑倍於月，則暗虛之圓徑亦倍於月。月既准一度，則暗虛廣二度矣。月食分數止以距交近遠而論，別無四時加試。八方所見食分並同。日食則不然，舊曆雲：假令中國食既戴，日之下所虧才半，化外反觀，則交而不食。何以言之？日月如大小二球，共懸一索。日上、月下，相去稍遠，人在其下正望之，黑球遮盡赤球，比若食既。若傍視，則分遠近之差，即食數有多寡也。」

　　其《五緯距合篇》曰：「古者止知五緯距度，未知有變數之加減。北齊張子信仰觀歲久，始知五緯又有盈縮之變，當加減常數以求其逐日之躔。所以然者，蓋五緯不由黃道，亦不由月之九道。乃出入黃道內外，各自有其道。視太陽遠近而遲疾者，如足力之勤倦又有變數之加減者。比如道裡之徑直斜曲。其《勾股測天篇》曰：「古人測景，千里一寸之差，猶未親切。今別定表之制度，並述元有算法。就地中各去南北數百里，仍不偏於東西，俱立一表，約高四丈。於表首下數寸作一方竅，外廣而內狹，當中薄如連邊，兩旁如側置漏底之碗，形圓而竅方。以南北表景之數相減余，名景差。兩表相距裡路，各乘南北表景，各如景差而一即得。二表各與戴日之地相距數日，平遠各以表景加之，所得各以表高乘之，各如表景而一即得。日輪頂與戴日地相距數，以南北表景各加平遠所得自乘，名勾冪。日高自乘，名股冪。兩冪相並，名弦冪。開為平方，名曰日遠。乃南北表竅之景距日斜遠也。

　　其《乾象周髀篇》曰：「古人謂圓徑一尺，周圍三尺。後世考究則不然。圓一而週三，則尚有餘；圍三而徑一，則為不足。蓋圍三徑一，是六角之用也。或謂圓徑一尺，周圍三尺一寸四分；或謂圓徑七尺，周圍二十二尺；或謂圓徑一百一十三，周圍三百五十五。徑一而週三一四，猶自徑多圍少；徑七而週二十二，卻是徑少周多；徑一百一十三，週三百五十五，最為精密。其考究之術，兩百眼茶盤一，眼廣一寸，方圖之內，畫為圓圖，徑十寸，圓內又畫小方圖。小方以算術展為圓象，自四角之方，添為八角曲圓為第一次。若第二次，則為曲十六。第三次為，則曲三十二。第四次則為曲六十四。凡多一交，其曲必倍。至十二次，則其為曲一萬六千三百八十四。其初之小方，漸加漸展，漸滿漸實，角放愈多，而其為方者不複方，而變為圓矣。今先以第一次言之，內方之弦十寸，名大弦，自乘得一百寸，名大弦冪，內方之勾冪五十寸，名第一次大勾冪。以第一次大勾冪，減其大弦冪，餘五十寸，名大股冪，開方得七寸七厘一毫有奇，名第一次大股。以第一次大股減其大弦，餘二寸九分二厘八毫有奇，名第一較，折半得一寸四分六厘四毫有奇，名第一次小勾。此小勾之數。乃內方之四邊與圓圍最相遠處也。以第一次小勾自乘，得二寸一分四厘四毫有奇，名第一次小勾冪。以第一次大勾冪，折半得二十五寸。又折半得十二寸五分，名第一次小股冪，並第一次小勾冪，得一十四寸六分四百四毫有奇，名第一次小弦冪，開方得三寸八分二厘六毫有奇，名第一次小弦，即是八曲之一。八乘第一次小弦，行三十寸六分一厘有奇，即是八曲之周圍也。此以小數求之，不若改為大數，將大弦改為一千寸，然後依法而求。若求第二次者，以第一次小弦冪，就名第二次大勾冪。以第一次大股冪減其大弦冪餘，為第二次大股冪。開方為第二次大股，以減其大弦餘為第二較，折半名二次小勾。此小勾之數，即是八曲之邊，與圓圍最相遠處也。以第二次小勾自乘，名第二次小勾冪。以第二次大勾冪兩折，名第二次小股冪。以第二次小股冪並第二次小勾冪，名第二次小弦冪，開方為第二次小弦，即是十六曲之一。以十六乘第二小弦即是十六曲之周圍也。以第二次仿第一次，若至十二次，亦遞次相仿。置第十二次之小弦，以第十二次之曲數一萬六千三百八十四乘之，得三千一百四十一寸五分九厘二毫有奇，即是千寸徑之周圍也。以一百一十三乘之，果得三百五十五。故言其法精密。要之方為數之始，圓為數之終。圓始于方，方終於圓。周髀之術，無出於此矣。

　　友欽闡明曆理，于授時術尤為深得，傳其學于龍遊人朱暉。有元一代，不為曆官，而知曆者，友欽一人而已。

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